一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

回到知识讲解 · 按知识点选题

难度用途

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$7$

查看逐步解析与易错点

由韦达定理得 $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 1$

为什么这样做
方程系数已知，直接读出两个基本对称式，不必解方程
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 3^{2} - 2 \times 1 = 7$

为什么这样做
目标式是对称式，可用 $e_{1} = x_{1} + x_{2}$ 与 $e_{2} = x_{1} x_{2}$ 表出。恒等式 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ 是最常用的一条改写。

易错与反例

直接解根再平方也能得到正确答案；本题用和积可减少根式计算。含参二次方程仍可用求根公式，不应说成根本无法求根。

同法可求立方和。倒数和写成 $(x_{1} + x_{2}) / (x_{1} x_{2})$ 时必须有 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ；根式和非对称表达式要分别检查条件，不能一概归入对称多项式定理。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

已知两数之和为 $5$ ，之积为 $6$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${2, 3}$

查看逐步解析与易错点

设这两数为 $x_{1}, x_{2}$ ，则它们是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根

为什么这样做
韦达定理反过来用：知道 $e_{1} = 5, e_{2} = 6$ ，就能构造出以它们为根的方程 $x^{2} - e_{1} x + e_{2} = 0$ 。这是从"根"到"方程"的方向。
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ ，故两数为 $2, 3$

为什么这样做
十字相乘找 $m + n = - 5, m n = 6$ ，即 $- 2$ 与 $- 3$

易错与反例

已知和积后，应先构造方程；之后可用分解、配方或求根公式。不能把不会十字相乘当成无法逆向构造的理由。

因式分解、求根与韦达由展开和因式定理联系，但回答的问题不同。十字相乘所找的两个常数是两根的相反数；逆向构造方程也可以配合其他求根方法。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8$ ，求 $m$ 的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$m = - 2 + \sqrt{6}$

查看逐步解析与易错点

判别式条件 $Δ = 4 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \geq - \frac{1}{2}$

为什么这样做
题设要求两个实根，因此必须同时满足判别式非负。可以先记录这项条件，并用它筛选后续得到的参数候选。
韦达定理： $x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1), x_{1} x_{2} = m^{2}$

为什么这样做
系数含参不影响韦达定理的使用
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 (m + 1)^{2} - 2 m^{2} = 2 m^{2} + 8 m + 4$

为什么这样做
仍是把对称式化归为 $e_{1}, e_{2}$
令 $2 m^{2} + 8 m + 4 = 8$ ，即 $m^{2} + 4 m - 2 = 0$ ，解得 $m = - 2 \pm \sqrt{6}$

为什么这样做
建立方程
由 $m \geq - \frac{1}{2}$ 筛选： $- 2 + \sqrt{6} \approx 0.449 > - \frac{1}{2}$ 保留； $- 2 - \sqrt{6} < - \frac{1}{2}$ 舍去。故 $m = - 2 + \sqrt{6}$

为什么这样做
回代检验判别式条件。这一步是分类讨论"最后合并结论"的体现，与解分式方程要验增根是同一类要求。

易错与反例

忘记写 $Δ \geq 0$ ，得出两个答案
求出 $m$ 后不回代检验

把条件换成倒数和或根差时，仍可先改写为和积，但须补相应条件：倒数和要求根的积非零；根差还须检查绝对值或根的命名顺序。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

直线 $y = x + m$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点。用 $m$ 表示线段 $A B$ 的长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$| A B | = \sqrt{2 (1 + 4 m)}$ ，其中 $m > - \frac{1}{4}$

查看逐步解析与易错点

联立消元得 $x^{2} - x - m = 0$ ，由 $Δ = 1 + 4 m > 0$ 得 $m > - \frac{1}{4}$

为什么这样做
联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。
韦达定理： $x_{1} + x_{2} = 1, x_{1} x_{2} = - m$

为什么这样做
不解出 $x_{1}, x_{2}$ 。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。
$| A B | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot | x_{1} - x_{2} |$ ，此处 $k = 1$ ，而 $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 1 + 4 m$

为什么这样做
弦长公式把问题化归为 $| x_{1} - x_{2} |$ ，而 $(x_{1} - x_{2})^{2}$ 是对称式，可用 $e_{1}, e_{2}$ 表出。整条链的关键就在这里。
$| A B | = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + 4 m} = \sqrt{2 (1 + 4 m)}$

为什么这样做
代入化简

易错与反例

本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。
忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

推广到其他曲线时，需先检查消元是否等价、二次系数是否非零，以及斜率是否存在，再使用判别式与和积。条件改变时流程必须相应调整。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程 · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立练习

两实数之和为 $7$ ，之积为 $12$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${3, 4}$

查看逐步解析与易错点

构造方程 $t^{2} - 7 t + 12 = 0$ 。

为什么这样做
根的和决定一次项系数，积决定常数项。
分解为 $(t - 3) (t - 4) = 0$ ，两数为 $3, 4$ 。

为什么这样做
同时检查和为7、积为12，避免只满足一个条件。

易错与反例

一次项符号应为负。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题提高 · 独立复测

两实数之和为 $1$ ，之积为 $- 6$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${- 2, 3}$

查看逐步解析与易错点

构造 $t^{2} - t - 6 = 0$ 。

为什么这样做
积为负说明两数异号。
$(t - 3) (t + 2) = 0$ ，两数为 $3, - 2$ 。

为什么这样做
和为1、积为−6可再次代回确认。

易错与反例

把两个数写成同号会使乘积为正。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题基础 · 独立练习

x₁、x₂为 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ 的两个实根。不解根，求 $1 / x_{1} + 1 / x_{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{7}{3}$

查看逐步解析与易错点

Δ=25>0，x₁+x₂=7/2，x₁x₂=3/2≠0；倒数和=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=7/3。

为什么这样做
韦达先读和积；倒数还要求两个根都非零。

易错与反例

一次项系数为−7，和为−b/a=7/2，不能漏掉负号。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题综合 · 独立练习

方程 $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ 有两个正实根（允许两根相等），求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[2, + \infty)$

查看逐步解析与易错点

要求Δ=4(m−2)(m+1)≥0、两根和2m>0、积m+2>0。三者取交集得到m≥2。m=2时两根都是2，符合题意。

为什么这样做
实根存在后，积为正说明同号，和为正排除两负；反向也成立。

易错与反例

仅检查和积的符号不能保证实根存在；允许相等时应取Δ≥0。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题综合 · 独立练习

方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的两实根中，一个小于1，另一个大于1。求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(- \infty, 2)$

查看逐步解析与易错点

若x₁<1<x₂，则(1−x₁)(1−x₂)=1−3+m=m−2<0，故m<2。反之m<2使Δ=9−4m>1>0，且这两个因子的乘积为负，1必在两根之间。

为什么这样做
用端点代入值判断根的分布，还要说明实根存在，完成必要与充分两个方向。

易错与反例

m=2时1本身是根，不能满足严格在两根之间。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题基础 · 独立练习

x₁、x₂是 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两根。以x₁+1、x₂+1为根的首一二次方程写成 $t^{2} + B t + C = 0$ ，依次给出B、C。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(- 6, 6)$

查看逐步解析与易错点

新根和为4+2=6，积为x₁x₂+(x₁+x₂)+1=1+4+1=6，所以方程为t²−6t+6=0。

为什么这样做
把新根的和积写成旧根的和积，再按(t−u)(t−v)展开构造。

易错与反例

方程的一次项系数是新根和的相反数。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题综合 · 独立复测

方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 有两个不同的正实根，求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0, 2) \cup (2, + \infty)$

查看逐步解析与易错点

Δ=(m−2)²>0给出m≠2；根的积2m>0给出m>0，此时根和m+2>0。合并得m>0且m≠2。也可分解为(x−m)(x−2)检验。

为什么这样做
正根、实根、不同根是三个条件，必须同时成立。

易错与反例

m=0有零根，m=2有重根，两点都不能取。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 练习 ​

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题 提高 · 独立练习

第 6 题 提高 · 独立复测

第 7 题 基础 · 独立练习

第 8 题 综合 · 独立练习

第 9 题 综合 · 独立练习

第 10 题 基础 · 独立练习

第 11 题 综合 · 独立复测

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 练习

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题提高 · 独立练习

第 6 题提高 · 独立复测

第 7 题基础 · 独立练习

第 8 题综合 · 独立练习

第 9 题综合 · 独立练习

第 10 题基础 · 独立练习

第 11 题综合 · 独立复测