对称多项式的表达 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-4x+2=0$ 的两根，求 ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$ 与 $x_1^3+x_2^3$。 答案按两个所求量的顺序填写。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,40)$

查看逐步解析与易错点

1. 互换检验：交换 $x_1,x_2$ 后两个目标式都不变，是对称式

   为什么这样做

   交换两根有助于识别结构。立方和用多项式恒等式；倒数和用通分，还必须检查根的积非零。

2. 由韦达定理读出 $e_1=x_1+x_2=4$，$e_2=x_1{x}_2=2$

   为什么这样做

   方程系数已知，两个基本对称式直接读出，不必解方程。

3. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}={\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

   为什么这样做

   通分即得，$e_2\ne 0$ 所以合法（$x_1{x}_2=2\ne 0$，两根都不为零）。

4. $x_1^3+x_2^3=e_1^3-3e_1{e}_2=64-3\cdot 4\cdot 2=64-24=40$

   为什么这样做

   恒等式 $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$，直接展开即可验证，不需要记忆。

易错与反例

• 直接解根也能计算，但立方展开较长；本题用和积更简洁。系数含参不表示求根公式失效。

• 用 ${\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}$ 时不检查 $e_2\ne 0$。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_1,x_2$ 是 $x^2-3x+1=0$ 的两根且 $x_1>x_2$，求 $x_1-x_2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{5}$

查看逐步解析与易错点

1. 互换检验：$x_1-x_2$ 交换后变号，不是对称式

   为什么这样做

   先检验，才知道不能直接套。这一步给出的是「换个思路」的信号，不是死路。

2. 但 $(x_1-x_2{)}^2$ 交换后不变，是对称式： $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=9-4=5$

   为什么这样做

   平方一下把非对称变成对称，这是处理 $x_1-x_2$ 一类目标的标准动作。 代价是最后要开方并判符号。

3. 开方：$|x_1-x_2|=\sqrt{5}$。由 $x_1>x_2$ 知 $x_1-x_2>0$，故 $x_1-x_2=\sqrt{5}$

   为什么这样做

   $\sqrt{a^2}=|a|$（见二次根式）。 题目给的 $x_1>x_2$ 不是多余条件，正是用来定符号的 —— 条件的存在本身就在提示你这一步会用到它。

易错与反例

• 平方后开方直接写 $x_1-x_2=\sqrt{5}$，跳过符号判断。若题目改成 $x_1<x_2$，答案是 $-\sqrt{5}$。

• 直接求根也有效；本题先求差的平方，再用大小顺序定符号，可以减少根式减法。

对于实系数二次方程ax²+bx+c=0，a≠0且Δ=b²−4ac≥0时，实根满足 |x₁−x₂|=√Δ/|a|。理由是差的平方=(−b/a)²−4c/a=Δ/a²，再取非负平方根。重根时两边均为0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 独立练习

已知 $x_1,x_2$ 是 $x^2-4x+1=0$ 的两根，不解方程求 $1/x_1+1/x_2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 由韦达得 $x_1+x_2=4,x_1{x}_2=1\ne 0$。

   为什么这样做

   先确认两根存在且均不为零，才能取倒数。

2. 通分得 $(x_1+x_2)/(x_1{x}_2)=4$。

   为什么这样做

   目标关于两根对称，可直接用和积。

易错与反例

• 分母用的是根的积，不是根的和。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 独立复测

已知 $u,v$ 是 $x^2-5x+2=0$ 的两根，求 $1/u+1/v$。

我的思路（本页草稿）

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$\frac{5}{2}$

查看逐步解析与易错点

1. $u+v=5,uv=2$；判别式 $17>0$。

   为什么这样做

   实根存在且积非零，倒数有意义。

2. $1/u+1/v=(u+v)/(uv)=5/2$。

   为什么这样做

   用通分将目标改为和积。

易错与反例

• 不要直接把和 $5$ 当作倒数之和。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

实数a、b满足a+b=3、ab=−2，求 $a^{2}b+a{b}^2$。

我的思路（本页草稿）

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$-6$

查看逐步解析与易错点

1. a²b+ab²=ab(a+b)=−2×3=−6。

   为什么这样做

   先提取公共因子ab，使目标直接由和积表示。

易错与反例

• 不能把a²b+ab²误写成(ab)²。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

u、v是 $x^2-3x+1=0$ 的两根，求 $u^4+v^4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$47$

查看逐步解析与易错点

1. u+v=3、uv=1，先得u²+v²=9−2=7；再得u⁴+v⁴=(u²+v²)²−2u²v²=49−2=47。

   为什么这样做

   把平方和恒等式连续使用两次；(uv)²可由积直接求出。

易错与反例

• 第二步应减2(uv)²，不是减2uv的一般替代规则。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

实数u、v满足u+v=4、uv=3，求 $(u+2)(v+2)$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$15$

查看逐步解析与易错点

1. 展开为uv+2(u+v)+4=3+8+4=15。

   为什么这样做

   把对称乘积展开后按和积重新组合。

易错与反例

• 常数2×2=4，不能漏掉。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

u、v是 $x(x-3)=0$ 的两个根，能否用 $(u+v)/(uv)$ 计算 $1/u+1/v$？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；原倒数和没有意义。

查看逐步解析与易错点

1. 两个根是0和3，其中一个倒数无定义；uv=0，通分后的分母也为0。

   为什么这样做

   通分恒等式的适用条件是u、v均非零；缺少条件时不能把未定义式当作数计算。

易错与反例

• 不能把3/0写成0或无穷大作为实数答案。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

u、v是 $x^2-6x+5=0$ 的两根，但未规定大小顺序。u−v是否有唯一值？列出可能值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

没有唯一值；可能为4或−4。

查看逐步解析与易错点

1. (u−v)²=(u+v)²−4uv=36−20=16，因此|u−v|=4。两根可按5、1或1、5命名，分别得到4与−4。

   为什么这样做

   和积不区分根的命名；恢复非对称的差时必须有顺序条件。

易错与反例

• 把平方开根后直接取+4会凭空加入u>v。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

u、v是 $x^2-5x+3=0$ 的两实根，求 $u^3+v^3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$80$

查看逐步解析与易错点

1. Δ=13>0，u+v=5、uv=3；u³+v³=(u+v)³−3uv(u+v)=125−45=80。

   为什么这样做

   展开立方和后减去含uv的交叉项即可，不必分别求根。

易错与反例

• 不能把u³+v³直接替换为(u+v)³。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

直线 $y=x+m$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。 用 $m$ 表示线段 $AB$ 的长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$|AB|=\sqrt{2(1+4m)}$，其中 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

查看逐步解析与易错点

1. 联立消元得 $x^2-x-m=0$，由 $\mathrm{\Delta }=1+4m>0$ 得 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   为什么这样做

   联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。

2. 韦达定理：$x_1+x_2=1,x_1{x}_2=-m$

   为什么这样做

   不解出 $x_1,x_2$。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。

3. $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$，此处 $k=1$， 而 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=1+4m$

   为什么这样做

   弦长公式把问题化归为 $|x_1-x_2|$，而 $(x_1-x_2{)}^2$ 是对称式， 可用 $e_1,e_2$ 表出。整条链的关键就在这里。

4. $|AB|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+4m}=\sqrt{2(1+4m)}$

   为什么这样做

   代入化简

易错与反例

• 本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。

• 忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

推广到其他曲线时，需先检查消元是否等价、二次系数是否非零，以及斜率是否存在，再使用判别式与和积。条件改变时流程必须相应调整。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程 · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。