圆锥曲线的弦长与中点（设而不求） · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 独立练习

直线 $y=x+1$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于 $A,B$，求弦长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{10}$

查看逐步解析与易错点

1. 联立得 $x^2-x-1=0$，判别式5大于0。

   为什么这样做

   先确认确实有两个不同交点。

2. 两根和为1、积为−1，所以 $(x_1-x_2{)}^2=1-4(-1)=5$。

   为什么这样做

   目标只需根差平方，用和积比展开两个根简便。

3. 斜率为1，故弦长 $\sqrt{1+1^2}\sqrt{5}=\sqrt{10}$。

   为什么这样做

   纵差等于横差，用距离公式组合。

易错与反例

• 把横坐标差的绝对值√5直接当成弦长，会漏掉纵坐标差。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求） · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 独立复测

直线 $y=2x$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于两点，求弦长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2\sqrt{5}$

查看逐步解析与易错点

1. $x^2=2x$，得 $x=0$ 或2，两交点为 $(0,0),(2,4)$。

   为什么这样做

   本题交点简单，可以直接求坐标，没必要强制设而不求。

2. 距离为 $\sqrt{(2-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。

   为什么这样做

   弦长是两点距离，必须同时计入横纵差。

易错与反例

• 只用横坐标差或纵坐标差作为长度。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求） · 一元二次方程的解法 · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

椭圆x²/4+y²=1的一条弦中点为M(1,1/2)，求弦所在直线，并验证确有这条弦。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$y=-x/2+1$，交点为(0,1)、(2,0)。

查看逐步解析与易错点

1. 两端点方程相减得(x₁−x₂)(x₁+x₂)/4+(y₁−y₂)(y₁+y₂)=0。中点给出和为2、1，非竖直弦斜率−1/2，过M得到y=−x/2+1。竖直线x=1的弦中点纵坐标是0，不合题意。代回候选直线得x²/2−x=0，交点(0,1)、(2,0)，中点符合。

   为什么这样做

   点差法先给必要关系，还须排除竖直情形并代回验证存在性。

易错与反例

• 只求出一个斜率而不检验交点，可能把必要条件当成充分条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

直线x=1与椭圆x²/4+y²=1交于A、B，求弦长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 代x=1得y²=3/4，端点纵坐标为±√3/2，故长度为√3。

   为什么这样做

   竖直弦的横坐标差为0，距离由纵坐标差的绝对值给出。

易错与反例

• 此时斜率不存在，不能硬套含k的斜截式弦长公式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

联立双曲线x²−y²=1与直线y=x+1。形式上B²−4AC=4>0，能否据此求两交点间的弦长？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；只有交点(−1,0)，没有两不同交点确定的弦。

查看逐步解析与易错点

1. 消元得−2x−2=0，二次项系数A=0，只有x=−1、y=0。二次判别式的根数结论不适用于这个一次方程。

   为什么这样做

   先检查消元后的次数，再使用判别式、韦达与除以A的公式。

易错与反例

• 把A=0代入判别式得到正数，不会把一次方程变成二次方程。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

椭圆x²/9+y²/4=1与直线y=1相交。依次求弦长、中点横坐标、中点纵坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3\sqrt{3},0,1)$

查看逐步解析与易错点

1. 代y=1得x²=27/4，端点横坐标±3√3/2；水平弦长为3√3，中点(0,1)。

   为什么这样做

   水平弦两端纵坐标相同，距离取横坐标差，中点取坐标平均。

易错与反例

• 不能把一个端点到y轴的距离当成整条弦长。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

直线y=−x+2与抛物线y=x²交于A、B。依次求弦长、中点横坐标、中点纵坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3\sqrt{2},-\frac{1}{2},\frac{5}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. 联立得x²+x−2=0，根为−2、1，交点(−2,4)、(1,1)。横纵差的绝对值均为3，长度3√2，中点(−1/2,5/2)。

   为什么这样做

   可以直接求简单交点；距离与中点分别由坐标差、坐标平均得到。

易错与反例

• 斜率为负不表示弦长为负，距离必须非负。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

椭圆x²/4+y²=1的弦中点为原点，是否能唯一确定弦所在直线？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，例如x轴和y轴都给出这样的弦。

查看逐步解析与易错点

1. x轴的端点为(−2,0)、(2,0)，y轴的端点为(0,−1)、(0,1)，两条不同弦的中点都为原点。点差关系此时成为0=0，不能据此除出唯一斜率。

   为什么这样做

   中点条件有时不足以确定直线，需要额外方向或端点条件。

易错与反例

• 不能把0/0当作某个确定斜率，也不能遗漏竖直直线。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立练习

抛物线y²=4x与直线x=2交于A、B，求弦长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 代入得y²=8，端点(2,2√2)、(2,−2√2)，弦长4√2。

   为什么这样做

   竖直线可直接代入求纵坐标，不需要斜率。

易错与反例

• 2√2只是半弦长，两个端点在x轴两侧。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

椭圆x²/9+y²/4=1与直线y=2x/3交于A、B，求弦长。

我的思路（本页草稿）

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$\sqrt{26}$

查看逐步解析与易错点

1. 代入得2x²/9=1，x=±3√2/2，y=±√2。两端横差3√2、纵差2√2，距离为√(18+8)=√26。

   为什么这样做

   先确认两个不同交点，再用距离公式同时计入横差和纵差。

易错与反例

• 弦长不等于单独的横坐标差3√2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

直线 $y=x+m$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。 用 $m$ 表示线段 $AB$ 的长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$|AB|=\sqrt{2(1+4m)}$，其中 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

查看逐步解析与易错点

1. 联立消元得 $x^2-x-m=0$，由 $\mathrm{\Delta }=1+4m>0$ 得 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   为什么这样做

   联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。

2. 韦达定理：$x_1+x_2=1,x_1{x}_2=-m$

   为什么这样做

   不解出 $x_1,x_2$。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。

3. $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$，此处 $k=1$， 而 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=1+4m$

   为什么这样做

   弦长公式把问题化归为 $|x_1-x_2|$，而 $(x_1-x_2{)}^2$ 是对称式， 可用 $e_1,e_2$ 表出。整条链的关键就在这里。

4. $|AB|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+4m}=\sqrt{2(1+4m)}$

   为什么这样做

   代入化简

易错与反例

• 本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。

• 忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

推广到其他曲线时，需先检查消元是否等价、二次系数是否非零，以及斜率是否存在，再使用判别式与和积。条件改变时流程必须相应调整。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程 · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。