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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
直线y=x+m与椭圆x²/4+y²=1有两个不同交点，求m的范围。
消元并乘4得5x²+8mx+4m²−4=0，二次系数5不为0。Δ=16(5−m²)>0，故−√5<m<√5。每个根唯一对应直线上的一个点。
只有等价消元、次数保持二次时，才用Δ>0判断两个不同交点。
易错与反例
端点对应重根相切，不能包括。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
双曲线x²/4−y²=1与y=x/2+1联立后，形式上的判别式为正。它们有两个交点吗？求实际交点。
只有交点(−2,0)，不能用二次判别式判定。
代入后x²/4−(x/2+1)²=1，二次项消去，得到−x−2=0，故x=−2、y=0。此时A=0，已经是一次方程。
判别式的根数规则只适用于二次系数非零的方程。
易错与反例
一个交点也不能在降次情形下一律解释为相切。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
判断渐近线y=x/2与双曲线x²/4−y²=1有没有实交点。
没有。
代入后左边恒为0，要求0=1，不成立。形式上A=B=0，不能把Δ=0当作有重根。
常数方程要直接判断真假，不能继续套二次公式。
易错与反例
渐近并不表示相交，或存在一个实际的无穷远交点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
讨论直线y=2x+m与抛物线y=x²的实交点个数。
m>−1时两个；m=−1时一个；m<−1时没有。
消元得x²−2x−m=0，Δ=4(1+m)。二次系数恒为1，所以按Δ正、零、负分类。m=−1时交点为(1,1)。
一个根对应直线上唯一一点，且这里没有额外定义域限制。
易错与反例
相切时虽然按重数有两个相等根，几何点只计一个。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
竖直线x=2与椭圆x²/9+y²/4=1有几个不同交点？
代入得y²=20/9>0，纵坐标有正负两个不同值，因此有两个交点。
竖直线改为解y，不需要斜率。
易错与反例
不能因为没有有限斜率就说不能联立。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²−y²=1与直线y=x−2的交点坐标。
x²−(x−2)²=1化为4x−5=0，得x=5/4、y=−3/4；代回两式均满足。
消元后是一次方程，故只有一个候选并可直接回代。
易错与反例
不能为了使用韦达而把已经消失的二次项当成非零。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
只取抛物线的上半支y=√x（x≥0），它与直线y=−1有几个实交点？
上半支始终y≥0，与y=−1无交点。平方后会得到x=1，但(1,−1)不满足原根式方程，必须舍去。
消元必须保留原支的范围；平方可能扩大候选点集。
易错与反例
不能把平方后方程的一个实根直接当作原曲线交点。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系 · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。
直线y=kx与双曲线x²/4−y²=1有两个不同交点，求k的范围。
代入为(1/4−k²)x²=1。系数为正时有正负两根；系数为0时0=1，系数为负时左边不可能为正。故−1/2<k<1/2。
这里先按二次系数的符号判断，再检查退化端点。
易错与反例
k=±1/2是渐近线，无交点，不是相切。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
直线y=x+b与椭圆x²/9+y²=1有两个不同交点，求b的范围。
消元乘9得10x²+18bx+9b²−9=0，Δ=36(10−b²)>0，故−√10<b<√10。
二次系数10恒非零，判别式条件与两交点对应。
易错与反例
不要把相切参数±√10包含进来。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²/9−y²/4=1与直线y=2x/3−1的交点坐标。
代入后化为x/3−5/4=0，得x=15/4、y=3/2，代回成立。
直线方向与渐近线平行，使二次项抵消，须按一次方程处理。
易错与反例
不能用消元前的曲线次数决定消元后一定还是二次。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。