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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
求椭圆x²/25+y²/9=1的两焦点坐标和离心率。
焦点为(−4,0)、(4,0)，离心率4/5。
长半轴a=5、短半轴b=3，c²=a²−b²=16，所以c=4；焦点在长轴即x轴上，e=c/a=4/5。
椭圆的两个半轴与半焦距满足平方差关系，分母给的是半轴平方。
易错与反例
不能把25当长半轴，也不能把c²写成25+9。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²/9−y²/16=1的焦点和渐近线。
焦点(−5,0)、(5,0)；渐近线y=±4x/3。
a=3、b=4，c²=a²+b²=25，故c=5。正的平方项是x²项，所以实轴、焦点在x轴；渐近线斜率为±b/a。
双曲线用平方和确定c，实轴由正项决定，不按两个分母的大小决定。
易错与反例
把较大的16当作实轴依据，会把焦点方向放错。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
点P到F(1,0)与直线x=−1的距离相等，求轨迹方程并检查平方是否增添点。
轨迹为y²=4x。
距离等式为√((x−1)²+y²)=|x+1|，两边非负，平方得到y²=4x。反过来该式给x≥0，故x+1>0，开方可还原原距离等式，没有增添点。
把根式式子平方后还要核对原来的范围与符号，才能说方程等价。
易错与反例
到直线的距离是垂距|x+1|，不是到固定点(−1,0)的距离。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
椭圆y²/16+x²/7=1的焦点是哪一组？
(±3,0)
(0,±3)
(0,±√23)
(±√23,0)
B
长半轴平方16在y²项下，c²=16−7=9，所以焦点在y轴，为(0,±3)。
先确定长轴方向，再求半焦距。
易错与反例
式子书写先后不决定焦点方向。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
双曲线y²/4−x²/5=1的焦距是多少？
a²=4、b²=5，c²=9，c=3；两焦点间距离2c=6，焦点在y轴。
正的y²项决定实轴，焦距是半焦距的2倍。
易错与反例
不能把3当作焦距，也不能用5−4计算c²。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求抛物线x²=−8y的焦点与准线。
焦点(0,−2)，准线y=2。
写成x²=−2py，得到p=4，开口向下；焦点在负y轴，距顶点p/2=2，准线在另一侧。
交换横纵坐标并反向，可把向右标准式变成向下形式。
易错与反例
系数8不是焦点到顶点的距离，必须按2p与p/2两步区分。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
中心在原点、焦点在x轴的椭圆，长轴长10、焦距6，求标准方程。
x²/25+y²/16=1。
a=10/2=5，c=6/2=3，b²=a²−c²=16；焦点在x轴，所以a²置于x²项下。
给的是全轴长与全焦距，要先换成半轴、半焦距。
易错与反例
不能把10和6直接代作a、c。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
F₁(−2,0)、F₂(2,0)。到两焦点距离之和为3的点存在吗？若距离和改为4，轨迹又是什么？
距离和3时没有点；距离和4时是闭线段F₁F₂，不是非退化椭圆。
三角不等式给PF₁+PF₂≥F₁F₂=4；等号恰在P位于两焦点之间的线段上成立，包含端点。
椭圆要求距离和严格大于焦距，等号是退化边界。
易错与反例
不能把任何正的距离和都代入椭圆标准式，也不能遗漏线段端点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求椭圆x²/36+y²/20=1的焦点与离心率。
焦点(−4,0)、(4,0)，离心率2/3。
a=6，c²=36−20=16，c=4；e=4/6=2/3。
先检查两个分母均正，再按椭圆平方差和长轴方向计算。
易错与反例
离心率用c/a，而不是c/b。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求抛物线y²=12x的焦点与准线。
焦点(3,0)，准线x=−3。
与y²=2px比较得p=6，因此焦点横坐标p/2=3，准线在顶点另一侧。
参数p是焦点到准线的距离，顶点到任一侧是p/2。
易错与反例
不要把12或6直接当作焦点横坐标。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。