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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
求方程x²+y²−4x+6y−12=0所表示圆的圆心和半径，依次填圆心横坐标、纵坐标、半径。
配方为(x−2)²+(y+3)²=25，所以圆心(2,−3)，半径5。
坐标到圆心的平方距离等于半径平方；右边25是R²。
易错与反例
圆心纵坐标为−3，不是+3；半径也不是25。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
圆x²+y²=25与直线x=3相交，求弦长。
代入得y²=16，交点(3,4)、(3,−4)，弦长为|4−(−4)|=8。圆心距3小于半径5，确有两个交点。
竖直线可直接代入，不需要斜率；整弦长是两个端点间的距离。
易错与反例
4是半弦长，不能只算圆心垂足到一个端点的距离。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
求圆x²+y²=25在P(3,4)处的切线方程，并核对条件。
3x+4y=25。
P满足9+16=25，确在圆上。候选直线经过P，且圆心到直线距离为25/√(3²+4²)=5，恰等于半径，所以只在P处相切。
先确认给定点在圆上，再用过点和圆心距检查切线。
易错与反例
圆外点不能直接当作这个公式里的切点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
圆心(1,2)、半径3的圆，与直线4x+3y−25=0是什么位置关系？
两个不同交点
相切
没有交点
直线经过圆心
B
圆心距为|4+6−25|/5=3，等于半径，因此相切。
比较的距离必须是圆心到整条直线的垂直距离。
易错与反例
不能只把分子15与半径3比较，还要除法向系数长度5。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
圆x²+y²=4与直线y=3有几个实交点？
代入得x²=−5，没有实数x满足，所以交点数为0。也可看圆心距3大于半径2。
几何点使用实坐标；两种方法应给出相同判断。
易错与反例
不能把没有实交点误写成相切。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
方程x²+y²−2x+4y+5=0表示什么点集？是非退化圆吗？
只有点(1,−2)，不是半径为正的圆。
配方得到(x−1)²+(y+2)²=0，两个非负平方必须同时为0。
圆的一般式配方后还要检查半径平方；等于0与大于0不同。
易错与反例
不能只看x²、y²系数相同就直接说是普通圆。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
直线x+y=m与圆x²+y²=2有两个不同交点，求m的范围。
圆心距为|m|/√2，半径为√2；两交点要求|m|/√2<√2，即|m|<2，所以−2<m<2。
严格的两交点条件用d<R；端点m=±2对应相切。
易错与反例
不能把相切参数也包含进来。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
从P(1,1)向单位圆x²+y²=1作切线。能否直接写x+y=1？求正确的切线。
不能直接套圆上点公式；正确切线为x=1与y=1。
P不在圆上，x+y=1也不经过P。先查竖直线x=1，它相切。其余过P直线写为y=k(x−1)+1，圆心距为|1−k|/√(1+k²)。令距离为1，两边非负可平方，解得k=0，得到y=1。两条均经过P且圆心距1。
外点作切线要同时满足过外点与相切条件，并单列斜率不存在的直线。
易错与反例
把外点坐标当成切点坐标，或只考虑有限斜率，都会漏失或误造切线。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
求圆x²+y²+2x−4y−4=0的圆心与半径，依次填三个数。
配方为(x+1)²+(y−2)²=9，圆心(−1,2)，半径3。
配方时补上的平方要同步计入右边，最后对半径平方开非负平方根。
易错与反例
右边为9，不是原式常数4。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。
直线3x+4y=10与圆x²+y²=4是否相切？若相切，求切点。
相切，切点为(6/5,8/5)。
圆心距10/5=2，等于半径。消去x得到25y²−80y+64=(5y−8)²=0，因此y=8/5、x=6/5。代回圆和直线都成立。
位置判断与求交点互相核对；相切时消元后应有重根并只给一个点。
易错与反例
同一个切点不能因为二重根就计作两个不同交点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。