第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
用导数定义求f(x)=x²在x=3处的导数。
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h≠0时差商为[(3+h)²−9]/h=6+h；h从两侧趋于0时都趋于6。
为什么这样做先约去共同因子h，再讨论趋近值，没有直接把0代入分母。
易错与反例
6.1是某个间隔的平均变化率，导数要取间隔趋于0的极限。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
导数的概念与运算 · 练习
先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
求f(x)=(x²+1)/(x−1)的导函数，保留定义域。
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f′(x)=(x²−2x−1)/(x−1)²，x≠1。
查看逐步解析与易错点
商法则给[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²，展开分子得到x²−2x−1。
为什么这样做分子先按u′v−uv′求差，分母是原分母的平方；原函数在1无定义。
易错与反例
商的导数不是分子、分母导数直接相除。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
f(x)=|x|在x=0连续。它在0处可导吗？
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不可导；左差商为−1，右差商为1。
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差商|h|/h在h<0时为−1，在h>0时为1，不能趋于同一个数。函数值确实趋于0，所以连续与可导要分开。
为什么这样做可导要求左右差商趋于同一有限极限；连续只检查函数值。
易错与反例
连续只是可导的必要条件，不能倒推。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 4 题 提高 · 独立练习
f(x)=eˣ+ln x。求f′(1)，并写出原函数定义域。
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f′(1)=e+1，定义域x>0。
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f′(x)=eˣ+1/x；x=1时为e+1。指数对全体实数有定义，但ln x只允许x>0。
为什么这样做和函数使用两个定义域的交集，再逐项求导。
易错与反例
不能因为指数项允许负数，就忽略对数项的限制。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 5 题 基础 · 独立练习
f(x)=(2x−1)³，求f′(1)。
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f′(x)=3(2x−1)²×2，代x=1得6。
为什么这样做外层三次幂求导后还要乘内层2x−1的导数2。
易错与反例
漏掉内层导数会误得3。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 6 题 基础 · 独立练习
一维运动的位置s(t)=t³米，t以秒计且t≥0。求t=2秒时的瞬时速度（米/秒）。
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查看逐步解析与易错点
s′(t)=3t²，t=2时为12米/秒。
为什么这样做位置对时间的变化率是速度；2处属于时间范围内部。
易错与反例
s(2)=8米是位置，不是速度。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 7 题 提高 · 独立练习
f(x)=√x在x=0有有限右导数吗？
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没有；右差商1/√h随h→0⁺无界增大。
查看逐步解析与易错点
h>0时[√h−0]/h=1/√h，不能趋于有限数。0是定义域端点，本题特意问右侧。
为什么这样做单侧与双侧导数要先区分；无限增大也不是有限导数。
易错与反例
不要把根式求导公式在0处分母为0的式子当成一个数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 8 题 提高 · 独立练习
x使用弧度时，(sin x)′=cos x。若θ表示角度数，f(θ)=sin(πθ/180)，f′(0)还是1吗？
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不是，f′(0)=π/180。
查看逐步解析与易错点
把角度转成弧度后，链式法则给f′(θ)=cos(πθ/180)×π/180；代0得到π/180。
为什么这样做导数与自变量的单位有关，换单位会改变每单位的变化率。
易错与反例
不能省略度到弧度的转换系数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
第 9 题 基础 · 独立复测
f(x)=x³−2x，求f′(1)。
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f′(x)=3x²−2，所以f′(1)=1。
为什么这样做按和差及幂函数规则求导，再代入所求点。
易错与反例
先代入得到常数再求导，得到的是另一个函数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 10 题 基础 · 独立复测
f(x)=ln(3x+1)，求f′(1)。
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定义域x>−1/3，故1合法；f′(x)=3/(3x+1)，代1得3/4。
为什么这样做对数的导数要乘内层导数3，并核对真数为正。
易错与反例
不能只写1/(3x+1)而漏乘3。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。