先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
讨论f(x)=x³−3x的单调区间与局部极值。
在(−∞,−1)、(1,+∞)递增，在(−1,1)递减；x=−1处极大值2，x=1处极小值−2。
f′=3(x−1)(x+1)。从左到右符号为正、负、正，在−1由正变负，在1由负变正；代回原函数求值。
导数符号决定相应区间的变化方向；这里两处导数变号给出相应的局部极值。
易错与反例
极值点的横坐标不是极值本身。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
求f(x)=x³−3x在闭区间[0,3]的最小值与最大值，按此顺序填写。
内部候选x=1；端点0、3也要比较。f(0)=0，f(1)=−2，f(3)=18，所以最小−2、最大18。
连续函数在闭区间取得最值；内部可导极值点需导数为0，最后比较函数值。
易错与反例
只报驻点值−2会漏掉端点最大值。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x³满足f′(0)=0，能否认定0是极值点？
不能；f在整个实数域严格递增，0不是极值点。
导数3x²在0两侧均为正；也可看0左侧函数值负、右侧正，没有同时高于或低于附近两侧。
导数为0只是可导内点极值的必要条件。
易错与反例
切线水平不等于一定出现山峰或谷底。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
a为实数，完整讨论f(x)=x³−3ax的单调性与局部极值。
a≤0时在实数域严格递增、无局部极值；a>0时在(−∞,−√a)、(√a,+∞)递增，在(−√a,√a)递减，局部极大值2a√a，极小值−2a√a。
f′=3(x²−a)。a<0时恒正；a=0时除0外为正，x³仍严格递增。a>0时有两不同零点，按平方差符号列区间，再代x=±√a。
参数先决定导数零点是否存在与合并，不能在a≤0时强写两个实根。
易错与反例
a=0时两个候选合并但不形成极值，不能沿用a>0的符号表。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用20米围栏围成长方形，四边全部使用围栏。求面积的最大值（平方米）。
设一边x米，则另一边10−x米，0<x<10。A=x(10−x)，A′=10−2x，在5前正、5后负，所以最大A(5)=25。
先由周长建立可行域，再用变化方向验证候选点确为全局最大。
易错与反例
20是周长，不是两条相邻边长度之和。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用导数证明ln x≤x−1（x>0），并给等号条件。
对所有x>0成立，且仅在x=1取等。
设g=x−1−ln x，g′=(x−1)/x；在(0,1)负、(1,+∞)正，所以g在1处取得唯一最小值0。
把待证差转成函数，并在全部定义域分析符号，可同时获得全域结论与取等点。
易错与反例
不能把x≤0也纳入对数不等式。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x²−2mx在[1,3]上不减，求实数m的范围。
内部导数2x−2m须非负，若m≤1则整个区间内均非负，端点连续。若m>1，可在(1,min(m,3))取一点使导数为负，出现局部下降，故不行。
充分性检验整个区间，必要性要找合法内点反驳；最终m≤1。
易错与反例
只把某一个x代入求导数非负不能证明整个区间不减。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=1/x在定义域内处处导数小于0，所以它在(−∞,0)∪(0,+∞)上整体递减，对吗？
不对；只能分别说它在两个区间递减。
跨越缺口选−1<1，却有f(−1)=−1<f(1)=1，与整体递减要求相反。两点之间不能使用需要连续区间的中值定理。
导数符号判单调必须在一个没有定义域缺口的区间上使用。
易错与反例
不要把两个递减分支自动合成一个递减集合。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
求f(x)=x³−6x²+9x在[0,4]的最大值、最小值及全部取得位置。
最小值0在x=0、3取得；最大值4在x=1、4取得。
f′=3(x−1)(x−3)，内部候选1、3，端点0、4。依次f(0)=0、f(1)=4、f(3)=0、f(4)=4，比较并保留并列位置。
同一个最值可能在多个点取得，不能只保留驻点或单一位置。
易错与反例
漏端点会使最大值、最小值的位置都不完整。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x³+ax在整个实数域严格递增，求a的范围。
a>0时f′=3x²+a恒正；a=0时x³也严格递增。a<0时0附近导数为负，故不符合。最终a≥0。
严格递增允许孤立点的导数为0，不能把充分条件f′>0误当必要条件。
易错与反例
遗漏a=0会把范围错误地写成a>0。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。