函数的概念（对应说） · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

回到知识讲解 · 按知识点选题

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

按自然定义域，$f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2/x$ 是否为同一函数？说明理由。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不是。$f$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$g$ 的定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

查看逐步解析与易错点

1. 分式要求 $x\ne 0$，而 $f(0)$ 存在。

   为什么这样做

   同一函数的判定包括定义域。

2. 二者在公共定义域上都取值 $x$，但不能因此忽略0处的差异。

   为什么这样做

   函数不是只由化简后的式子决定。

易错与反例

• 只比较表达式而不比较定义域。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 独立复测

$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ 按自然定义域定义，$g(x)=x+2$ 明确规定 $x\ne 2$。它们是否为同一函数？

我的思路（本页草稿）

查看答案

是。两者定义域均为 $\mathbb{R}\setminus \{2\}$，且在域内对应法则相同。

查看逐步解析与易错点

1. $f$ 排除 $x=2$，$g$ 也按题设排除2。

   为什么这样做

   显式给定的范围与自然定义域都必须读清。

2. 在 $x\ne 2$ 时，$f(x)=(x-2)(x+2)/(x-2)=x+2=g(x)$。

   为什么这样做

   定义域和对应同时一致即可判为同一函数。

易错与反例

• 一见分式约分就答不同；本题已给 $g$ 同样的限制。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

对所有x∈[0,2]，有f(x+1)=x²+2x。求题设已经确定部分的f(t)，写出t的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$f(t)=t^2-1$，t∈[1,3]；区间外未由题设确定。

查看逐步解析与易错点

1. 令t=x+1，则x=t−1，t∈[1,3]。代入得到(t−1)²+2(t−1)=t²−1。

   为什么这样做

   换元时把实际输入作为新自变量，也把它的可取范围同步变换。

易错与反例

• 不能只改表达式，就擅自把结论推广到全部实数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

f(x)=3；g(x)在x≥0时为x、在x<0时为−x，二者均定义在实数集上。它们都是函数吗？关系y²=x（x≥0）本身能否唯一确定y为x的函数？

我的思路（本页草稿）

查看答案

前两个都是函数；y²=x本身不能唯一确定y。

查看逐步解析与易错点

1. 常函数每个输入都只输出3；分段函数两段不重叠且覆盖所有输入，也只有一个输出。关系y²=x在x=1时允许y=1或−1，必须再选定如y≥0这样的分支。

   为什么这样做

   唯一对应限制的是一个输入的输出个数，不要求输出一定变化，也不要求只用一段公式。

易错与反例

• 两个不同输入能有同一输出；反过来，一个输入有两个输出则不符合单值函数定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

求 $f(x)=\sqrt{2-x}/(x+1)$ 的实数定义域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,2]$

查看逐步解析与易错点

1. 根号要求x≤2，分母要求x≠−1，因此解集为(−∞,−1)与(−1,2]。

   为什么这样做

   自然定义域使式子的所有运算同时有意义。

易错与反例

• 2可以取，−1不能取；不能只检查根号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 二次根式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

f的定义域为[−2,4]。求表达式f(2x−1)有意义时x的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$

查看逐步解析与易错点

1. 输入2x−1须满足−2≤2x−1≤4，解得−1/2≤x≤5/2。

   为什么这样做

   f接收的输入是整个2x−1，不是式子中单独的x。

易错与反例

• 不能原样抄[−2,4]作为新表达式的自变量范围。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

函数f的定义域为{−2,0,3}，且f(x)=x²。求值域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{0,4,9\}$

查看逐步解析与易错点

1. 逐个输入得到4、0、9，值域为{0,4,9}。

   为什么这样做

   有限定义域只有列明的输入，不能按连续区间取所有中间值。

易错与反例

• 不能把值域写成[0,9]，例如1没有对应的允许输入。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 集合。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

函数f:[−1,1]→实数集，f(x)=x²。下列哪项正确？

• A.

  陪域是[0,1]，值域是实数集

• B.

  陪域是实数集，值域是[0,1]

• C.

  值域是[−1,1]

• D.

  f不是函数，因为f(1)=f(−1)

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. 符号→后的实数集是给定陪域；实际取到的平方从0到1，值域为[0,1]。

   为什么这样做

   值域是实际输出的集合，可以是陪域的真子集。

易错与反例

• 不同输入可以给出同一个输出，不破坏函数定义。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

f(x)=x²的定义域为[−1,1]，g(t)=t²的定义域也为[−1,1]。字母不同会使它们成为不同函数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不会；按题设它们是同一函数。

查看逐步解析与易错点

1. 把同一个允许输入送入两者，都得到它的平方；定义域也一致。x和t只是表示输入的符号。

   为什么这样做

   判定同一函数看定义域与对应，不看自变量字母的名称。

易错与反例

• 改名与改变定义域是不同操作。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

已知f的定义域为[1,5]，并有f(2x+1)=4x²对0≤x≤2成立。写出f(t)与其定义域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$f(t)=(t-1{)}^2$，t∈[1,5]。

查看逐步解析与易错点

1. 令t=2x+1，则x=(t−1)/2，t∈[1,5]；代入4[(t−1)/2]²=(t−1)²。

   为什么这样做

   输入范围与题给定义域相符，因此这次覆盖了全部已定义输入。

易错与反例

• 不能漏掉x=(t−1)/2中的分母2，也不能把f的定义域写成[0,2]。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。