指数函数与对数函数 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

依次求 ${\log }_{2}8$ 与 $2^{-3}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,\frac{1}{8})$

查看逐步解析与易错点

1. 2³=8，所以log₂8=3；负指数表示倒数，2⁻³=1/2³=1/8。

   为什么这样做

   对数回答“要取几次指数”，负指数回答“对应正幂的倒数”，两种记号不可混读。

易错与反例

• log₂8不是8÷2，负指数也不表示幂值为负。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

一个理想增长模型为P(t)=100×2ᵗ，t以年计且t≥0。依次求3年时的数量、数量达到400时的t。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(800,2)$

查看逐步解析与易错点

1. P(3)=100×8=800；100×2ᵗ=400等价于2ᵗ=4，所以t=2。

   为什么这样做

   指数增长表示每增加相同时间乘同一倍数，不是每年加同一个数。

易错与反例

• 这是指定的理想模型，不能凭两次观测就断言现实一定持续翻倍。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

把 $f(x)={\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)$ 写成 ${\log }_2(x^2-1)$ 时，原定义域应怎样保留？

我的思路（本页草稿）

查看答案

必须保留x>1，不能扩大成x<−1或x>1。

查看逐步解析与易错点

1. 原式要求x−1>0、x+1>0，交集是x>1。合并后的表达式在x<−1处也有定义，但例如x=−2时原来两个真数均负，原函数未定义。

   为什么这样做

   对数乘法公式要求两个真数分别正，只有乘积正还不够；合并必须保留原范围。

易错与反例

• 表达式变短不等于定义域可以改变。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

计算 $2^{1/2}\cdot 2^{3/2}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 同底正数幂相乘指数相加，得到2²=4。

   为什么这样做

   底数为正时，分数指数按正根定义，与整数指数法则相容。

易错与反例

• 指数相乘对应的是幂的幂，不能用于此处两个幂相乘。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

解实数方程 ${\log }_2(x-1)=3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$9$

查看逐步解析与易错点

1. 先有x>1，再由对数定义得x−1=2³=8，故x=9；代回真数为8，合法。

   为什么这样做

   指数式与对数式互换时，底数和真数条件仍存在。

易错与反例

• 不能把log运算当作与2或3的普通乘除。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

以下哪个数可以作为实数域上指数函数y=aˣ（按通常a≠1的命名）的底数a？

• A.

  −2

• B.

  0

• C.

  1

• D.

  1/2

我的思路（本页草稿）

查看答案

D

查看逐步解析与易错点

1. 指数函数要求a>0且a≠1，只有1/2满足；a=1会给常函数，负底数不能对所有实数指数保持实值。

   为什么这样做

   函数的命名限制与某个单独幂能否计算是不同问题。

易错与反例

• (−2)³可计算，不意味着(−2)ˣ能对所有实数x定义成此处指数函数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 7 题 提高 · 独立练习

解不等式 ${\log }_{1/2}(x-1)>1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,\frac{3}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. 先要求x>1。底数1/2介于0与1之间，对数函数递减，所以0<x−1<1/2，得到1<x<3/2。

   为什么这样做

   由对数值比较真数时，递减函数会反转大小关系；真数正性同时保留。

易错与反例

• 不能把小于1的底数按递增情形处理。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题 提高 · 独立练习

在a>0、a≠1、M>0、N>0条件下，证明 ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

对数的乘积公式成立。

查看逐步解析与易错点

1. 令 $u={\log }_{a}M$、$v={\log }_{a}N$，则M=aᵘ、N=aᵛ，故MN=aᵘ⁺ᵛ。由同底对数定义及唯一性，${\log }_a(MN)=u+v$。

   为什么这样做

   对数律从指数律与反向对应推出，不需要当作无来由的新运算规则。

易错与反例

• M、N分别正是定义条件；仅有MN>0不能保证右侧两项都定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 9 题 基础 · 独立复测

求实数方程 $3^{x+1}=27$ 的解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2$

查看逐步解析与易错点

1. 27=3³，同底指数函数严格递增而一一对应，所以x+1=3，x=2。

   为什么这样做

   比较指数需要合法底数且a≠1，保证相同幂值对应相同指数。

易错与反例

• 若底数为1，不能由幂相等推出指数相等。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

f(x)=2ˣ只在0≤x≤2上定义。写出其反函数，并注明反函数的定义域和值域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

反函数为log₂x，定义域[1,4]，值域[0,2]。

查看逐步解析与易错点

1. 原函数在[0,2]严格递增，值域为[1,4]；交换输入输出得到反函数，原值域变成新的定义域，原定义域变成新的值域。

   为什么这样做

   反函数不仅是换一个表达式，还要交换正确的输入输出范围。

易错与反例

• 不能把限制后的反函数仍写成定义于全部正实数的函数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。