先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
用定义证明f(x)=x²在[0,+∞)上严格递增。
f在[0,+∞)上严格递增。
任取0≤x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=(x₂−x₁)(x₂+x₁)>0：第一因子正，且x₂>0使第二因子也正。故f(x₁)<f(x₂)。
单调性要比较任意两个按顺序取的输入，不能只检验几个样本。
易错与反例
x₁、x₂不能同时为0，因为已经规定x₁<x₂。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
函数f(x)=(x−1)²的定义域为(−1,2]。求最小值，并判断是否有最大值。
最小值0在x=1取得；没有最大值。
平方非负且1属于定义域，所以最小0。在(−1,1]上，越向左离1越远，值越大，却没有最左端点；任一点都能再向左取一个更大的值。[1,2]上的值不超过1，又小于f(−1/2)=9/4。因此整个定义域没有最大值，值可以接近4但取不到4。
最大值既要控制所有输入，也必须由某个允许输入取到；一个未取到的上界不能直接叫最大值。
易错与反例
不能因表达式在−1处可算就把被排除的−1带回定义域。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x²的定义域改为[−1,2]后，它还是偶函数吗？
不是偶函数，也不是奇函数。
2在定义域内，−2却不在，定义域不关于原点对称，已经不满足奇偶性的前提。
先检查定义域，再比较f(−x)与f(x)；表达式有对称形式仍可能因范围而失去奇偶性。
易错与反例
不能把“平方式”直接等同于偶函数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
以下函数均取自然定义域，哪个是奇函数？
y=x²
y=x³
y=x²+1
y=|x|
B
x³的定义域为全体实数，且(−x)³=−x³；其他三个都是偶函数且不恒为0。
奇函数需要对称定义域与f(−x)=−f(x)同时成立。
易错与反例
图像经过原点是常见结果，不是充分判定。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
在全体实数上，f(x)=0能否同时是奇函数和偶函数？
能，同时是奇函数与偶函数。
定义域关于原点对称，而且f(−x)=0=f(x)=−f(x)。
两种定义可以同时满足；若一个函数既奇又偶，其每个函数值也必须等于自己的相反数，即恒为0。
易错与反例
不能把奇函数、偶函数当作必定互斥的两类。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
一个定义在全体实数上的奇函数，在(0,+∞)严格递增，能否保证它在全体实数上严格递增？
不能。
反例：
正半轴的性质没有自动控制跨越0的函数值顺序；还需额外条件。
易错与反例
不能将两个区间上的单调结论不加检查合并。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
若奇函数f的定义域包含0，证明f(0)=0。若定义域不含0，能否仍写这个结论？
含0时f(0)=0；不含0时f(0)未定义，不能这样写。
由奇性f(−0)=−f(0)，而−0=0，所以2f(0)=0。论证开始就要求f(0)存在。
定义条件决定允许代入哪些数，不能把代数记号当作总有定义。
易错与反例
例如1/x是奇函数，却没有f(0)。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
某连续生产量模型的成本C(x)=(x−2)²+5（万元），x以吨计，允许0≤x≤5。依次求该模型的最小与最大成本。
距2最近的允许值为2，成本5；最远为5，成本14。另一端点0的成本为9，因此最小5、最大14万元。
平方随非负距离增大而增大；比较允许范围内到2的最近与最远距离即可。
易错与反例
只找到顶点的最小值后，还须比较端点才能求最大值。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用定义证明f(x)=3x−2在全体实数上严格递增。
严格递增。
任取x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=3(x₂−x₁)>0，所以f(x₁)<f(x₂)。
正系数保留输入差的正号，比较对任意两点都成立。
易错与反例
只写“图像向上”未完成题目要求的定义证明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
函数
偶而非奇
奇而非偶
既奇又偶
非奇非偶
A
定义域排除±1，仍关于原点对称；g(−x)=g(x)。又g(0)=−1≠0，所以不能是奇函数。
对称的定义域可以有缺口，不要求一定是一个连续区间。
易错与反例
不能因定义域排除了点就一概否定偶性。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。