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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
用两角和公式求cos75°。
cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°−sin45°sin30°=(√6−√2)/4。
余弦和角公式的交叉项取减号，45°和30°的数值由特殊直角三角形得到。
易错与反例
cos(α+β)不是cosα+cosβ。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。
α为第二象限角，sinα=3/5。依次求sin2α、cos2α。
由象限与平方关系得cosα=−4/5；sin2α=2×(3/5)×(−4/5)=−24/25，cos2α=16/25−9/25=7/25。
先恢复带符号的余弦，再使用倍角公式；不能在平方根处丢掉象限条件。
易错与反例
sin2α是sin(2α)，不是2sinα。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
化简
等于tanx，范围为x≠π/2+kπ（k为整数）。
分子为2sinx cosx，分母为2cos²x。原式要求cosx≠0，此时可约去一个cosx，得到sinx/cosx=tanx。
约分只在公因式非零时合法；本题原式与tanx的定义域恰好相同。
易错与反例
不能在cosx=0的点使用这个分式恒等式。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
用和角公式求tan75°。
tan(45°+30°)=(1+1/√3)/(1−1/√3)=(√3+1)/(√3−1)=2+√3。
两个正切均有意义且分母不为0，最后用平方差有理化。
易错与反例
正切和角分母中的符号是减号。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
cos²20°−sin²20°等于哪一个？
cos40°
sin40°
cos20°
sin20°
A
由cos2α=cos²α−sin²α，取α=20°，得到cos40°。
识别两个平方之差对应余弦倍角。
易错与反例
它不是cos²(20°−20°)，也不是两个角度相减。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。
求
取角φ使cosφ=3/5、sinφ=4/5，则原式=5sin(x+φ)≤5；当x+φ=π/2+2kπ时取到5。
和角公式把两个同频函数合并成一个正弦；必须说明取等确实可达。
易错与反例
把最大值写成3+4=7，忽略了sinx与cosx不能同时为1。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换 · 三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
已知tanx=2，依次求sin2x、cos2x。
cosx≠0。将倍角式分子分母同除cos²x，得到sin2x=2tanx/(1+tan²x)=4/5，cos2x=(1−tan²x)/(1+tan²x)=−3/5。
用sin²x+cos²x=1补成比式；给定正切已保证除以cos²x合法。
易错与反例
tanx相同的角可差π，但它们的倍角相差2π，所以这里结果仍唯一。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。
只要tan(α+β)有意义，就一定能代入正切和角公式的右边吗？给出反例。
不一定。α=π/2、β=−π/4时左边tan(π/4)=1有意义，但tanα无定义。
右边除了要求和角正切存在，还要求tanα、tanβ各自有意义，且1−tanαtanβ非零。所给反例不满足第一个要求。
两个写法的各个中间运算都需有定义，不能由最终和角有意义推断所有分项有意义。
易错与反例
恒等公式带有适用范围，不能当作在每个实数参数处都可计算的代换。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。
用和角公式求sin75°。
sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。
正弦和角公式含两个交叉项，这里相加。
易错与反例
不能把余弦和角中的减号照搬到正弦和角。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。
化简
等于tanx，但须保留x≠kπ/2（k为整数）。
分子为2sin²x，分母为2sinx cosx。原式要求sinx与cosx都非零，约分后得到tanx，但不能补回sinx=0的点。
化简式可能在原来没有意义的点有值，等价使用必须保留原定义域。
易错与反例
x=0时tanx有值0，原分式却为0/0，因此不能仅写正切的自然定义域。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。