任意角与单位圆定义 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 独立练习

求 $\sin {120}^{\circ }$，并说明采用的定义。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sin {120}^{\circ }=\sqrt{3}/2$。用单位圆交点的纵坐标定义，120°与60°终边关于纵轴对称。

查看逐步解析与易错点

1. 120°终边在第二象限，单位圆点的纵坐标为正。

   为什么这样做

   钝角不能直接当成直角三角形中的锐角处理。

2. 与60°关于纵轴对称，纵坐标不变，故正弦为 $\sqrt{3}/2$。

   为什么这样做

   单位圆对称给出诱导关系，而非只凭口诀。

易错与反例

• 写出数值但把120°当成直角三角形内的锐角。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 独立复测

求 $\sin {210}^{\circ }$，用单位圆解释正负号。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-1/2$。210°终边在第三象限，单位圆纵坐标为负；与30°相差180°，坐标取相反数。

查看逐步解析与易错点

1. 210°=180°+30°，对应点与30°单位圆点关于原点对称。

   为什么这样做

   先定位象限和几何对称，避免只猜符号。

2. 纵坐标为 $-\sin {30}^{\circ }=-1/2$。

   为什么这样做

   正弦由纵坐标定义，第三象限纵坐标为负。

易错与反例

• 把第三象限的正切为正混成正弦为正。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

用单位圆求sin150°、cos150°，按此顺序作答。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{1}{2},-0.5\sqrt{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 150°与30°的单位圆点关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标相反，故sin150°=1/2，cos150°=−√3/2。

   为什么这样做

   正弦读纵坐标、余弦读横坐标；第二象限横负纵正。

易错与反例

• 不能把两个坐标都取正；150°不是直角三角形中的锐角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

α是第二象限角，sinα=3/5，求cosα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-\frac{4}{5}$

查看逐步解析与易错点

1. 由平方关系得cos²α=1−9/25=16/25；第二象限横坐标为负，所以cosα=−4/5。

   为什么这样做

   单位圆方程给出大小，象限给出符号，两者都需要。

易错与反例

• 不能开方后只保留正号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

求sin450°、cos450°、tan450°，并用单位圆说明。

我的思路（本页草稿）

查看答案

sin450°=1，cos450°=0，tan450°无定义。

查看逐步解析与易错点

1. 450°与90°同终边，单位圆交点为(0,1)。正弦与余弦分别读1和0；正切要作1/0，故无定义。

   为什么这样做

   正弦、余弦对任意角有意义，正切还要求横坐标非零。

易错与反例

• 不能把正切无定义写成0，也不能说三个函数都无定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

角α的终边与单位圆交于P(−3/5,−4/5)，依次求sinα、cosα、tanα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5},\frac{4}{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 正弦取纵坐标−4/5，余弦取横坐标−3/5，正切为(−4/5)/(−3/5)=4/3。

   为什么这样做

   两个坐标平方和为1，点在第三象限；正切同号相除为正。

易错与反例

• 正切为正不说明正弦、余弦也为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

将300°写成kπ弧度，求系数k。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{5}{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 300°×π/180°=5π/3，所以k=5/3。

   为什么这样做

   180°对应π弧度，用相同角度单位之间的比例换算。

易错与反例

• 300°不等于300弧度。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

在[0,2π)内，与−π/4同终边的角写成kπ，求k。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{7}{4}$

查看逐步解析与易错点

1. −π/4+2π=7π/4，处于[0,2π)，所以k=7/4。

   为什么这样做

   同终边角相差整圈2π，负角表示顺时针旋转。

易错与反例

• 同终边不等于两个角的有向旋转量相同。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

只知道sinα=1/2，能唯一确定α=30°吗？给出另一个不同角说明。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；例如α=150°也满足，此外还可加整圈。

查看逐步解析与易错点

1. 30°与150°的单位圆点有相同纵坐标，因此正弦相同；相差360°的同终边角也给相同坐标。

   为什么这样做

   输出相同不保证输入唯一，需要给角度范围及其他条件才能进一步确定。

易错与反例

• 不能只根据特殊角表中的一个值就宣布解唯一。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

α为第四象限角，cosα=5/13，求sinα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-\frac{12}{13}$

查看逐步解析与易错点

1. sin²α=1−25/169=144/169；第四象限纵坐标为负，因此sinα=−12/13。

   为什么这样做

   平方关系确定绝对值，象限确定正负号。

易错与反例

• 不能沿用cosα为正就把sinα也取正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。