第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
半径5的圆中，一条弦到圆心的垂直距离为3，求弦长。
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圆心到弦的垂线平分弦，半弦长为√(5²−3²)=4，所以整弦长8。
为什么这样做半径、半弦与垂距构成直角三角形，求出半弦后还要乘2。
易错与反例
不要将半弦长4直接作为弦长。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
圆 · 练习
先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
圆上A、B、P互不相同。不含P的弧AB所对圆心角为140°，求圆周角∠APB（单位：度）。
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圆周角等于同弧所对圆心角的一半，因此∠APB=70°。
为什么这样做必须取不含P的那段弧，不能随便使用两半径之间较小的角。
易错与反例
P移到另一段弧上时，所对弧随之改变，不能仍沿用70°。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
AB是圆的直径，P在圆上且不同于A、B。证明∠APB=90°；为什么排除P=A或B？
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∠APB=90°；P等于端点时不能形成所说的三角形与圆周角。
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不含P的半圆弧AB对应180°，圆周角为其一半90°。若P与端点重合，其中一条角边不能由两个不同点确定，三角形退化。
为什么这样做圆周角定理需要三个圆上点互异，直径给出的弧度数则固定为180°。
易错与反例
“P在圆上”还要加端点排除条件。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 4 题 基础 · 独立练习
同一圆中，圆周角∠APB为35°。求它所对弧AB的圆心角度数。
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对应同一段弧，圆心角为2×35°=70°。
为什么这样做从圆周角反求圆心角时乘2，仍需保持同弧对应。
易错与反例
圆心角不一定指另一个方向的优弧角。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 5 题 提高 · 独立练习
圆心O到非直径弦AB作垂线OM，M在线段AB上。证明AM=BM。
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AM=BM。
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直角三角形OMA、OMB有OA=OB（半径）、OM公共，由HL全等；对应直角边AM=BM。
为什么这样做“圆心”给出半径相等，“垂直”给出直角，二者不可缺。
易错与反例
任意一点向弦作垂线不一定平分弦；若弦为直径，O本身是中点，应单独直接说明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 6 题 提高 · 独立练习
P在半径r的圆上，直线l经过P且OP⊥l。证明l与圆相切。
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l只与圆交于P，因此相切。
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任取l上Q≠P，直角三角形OPQ满足OQ²=OP²+PQ²>r²，所以Q在圆外。P本身在圆上，故l恰有一个圆上点。
为什么这样做切线要求唯一交点，证明应排除直线上的其他点，而不只是看图接触。
易错与反例
必须说明l经过圆上点P，仅有与OP所在直线垂直不够。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 7 题 综合 · 独立练习
可选拓展：P在圆外，两割线依次经过P、A、B和P、C、D。PA=3、PB=12、PC=4，PT为切线段。依次求PD、PT。
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外点割线积为PA×PB=36=PC×PD，所以PD=9；PT²=36，切线段长为6。
为什么这样做PB、PD指从外点到远交点的整段，不能用圆内弦长代替；切线段取正。
易错与反例
PA×AB不是割线积，整段与内部段要区分。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 8 题 提高 · 独立练习
可选拓展：圆内两弦AB、CD相交于P，PA=2、PB=6、PC=3。求PD。
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内点相交弦有PA×PB=PC×PD，故2×6=3×PD，PD=4。
为什么这样做P在两条弦内部，各段是从P到交点的正长度，乘积为r²−OP²。
易错与反例
不要把内点的正长度积写成OP²−r²。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
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第 9 题 基础 · 独立复测
圆半径13，一条弦距圆心5，求弦长。
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半弦平方为13²−5²=144，所以半弦12，整弦24。
为什么这样做垂径关系先得到半弦，再由勾股定理求长。
易错与反例
垂距5小于半径13，弦确实存在。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
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第 10 题 提高 · 独立复测
“直线l垂直于半径OP所在直线，所以l是圆的切线。”这句话缺什么条件？给一个反例。
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还须l经过圆上点P；只垂直不够。
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例如半径5、圆心O，取一条到O距离3、垂直于OP所在直线的直线。它到圆心的距离小于半径，与圆交于两点，不是切线。
为什么这样做切点处的半径垂直切线，涉及垂足位置；改变直线的位置会改变交点数。
易错与反例
不能从方向条件自动补出经过指定点的位置条件。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
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