勾股定理与逆定理 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

直角三角形两直角边长分别为3、4，求斜边长。

我的思路（本页草稿）

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$5$

查看逐步解析与易错点

1. 斜边平方为3²+4²=25；长度为正，所以斜边为5。

   为什么这样做

   勾股定理只连接同一非退化直角三角形的两条直角边与斜边。

易错与反例

• 最长的斜边要单独放在平方和等式的一侧。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

一架13米长的梯子靠在竖直墙上，梯脚距墙5米。地面水平且与墙垂直，求梯顶离地高度。

我的思路（本页草稿）

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$12$

查看逐步解析与易错点

1. 梯子是斜边，高度h满足h²+5²=13²，所以h²=144，h=12米。

   为什么这样做

   墙、地面与梯子形成直角三角形，先将实物量与三条边对应。

易错与反例

• 13米是梯长，不是高度；不可用13−5求高。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

三角形三边为6、8、10。证明它是直角三角形，并说明直角所对的边。

我的思路（本页草稿）

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它是直角三角形，直角对着长为10的边。

查看逐步解析与易错点

1. 6²+8²=100=10²。构造直角边为6和8的直角三角形，其斜边按勾股定理为10。两三角形三边分别相等，由SSS全等，原三角形对应角也为直角。

   为什么这样做

   这里使用的是逆定理，不能把需要证明的直角先当作已知。

易错与反例

• 仅说“满足公式所以直角”未解释逆定理的依据，本题要补构造与全等。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

正方形边长为2，求对角线长。

我的思路（本页草稿）

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$2\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 对角线分出两直角边均为2的直角三角形，$d^2=2^2+2^2=8$，所以 $d=2\sqrt{2}$。

   为什么这样做

   正方形相邻边垂直，允许使用勾股定理。

易错与反例

• 对角线不能按两条边长直接相加。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

坐标平面中A(−1,2)、B(2,6)，求AB。

我的思路（本页草稿）

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$5$

查看逐步解析与易错点

1. 横向距离3、竖向距离4，作水平与竖直辅助线得到直角三角形，AB²=3²+4²=25，AB=5。

   为什么这样做

   坐标差给出两个垂直方向的位移，直线距离由勾股关系求得。

易错与反例

• |Δx|+|Δy|是折线路径长度，一般不是直线距离。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 平面直角坐标系。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

以下哪组三边能组成直角三角形？

• A.

  5、12、13

• B.

  2、3、4

• C.

  1、1、1

• D.

  2、2、3

我的思路（本页草稿）

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A

查看逐步解析与易错点

1. 5²+12²=13²；其余三组较短两边平方和均不等于最长边平方。

   为什么这样做

   先确认最长边，再检验逆定理的平方等式。

易错与反例

• 不能把任意两边作平方和，不管第三边是不是最长。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 综合 · 独立练习

用边长a+b的大正方形，拼入4个直角边为a、b的全等直角三角形，证明勾股定理。

我的思路（本页草稿）

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斜边长c满足a²+b²=c²。

查看逐步解析与易错点

1. 四个三角形的斜边围成边长c的小四边形。直角三角形的两锐角互余，故小四边形各角为90°，它是正方形。面积相减得 $(a+b{)}^2=4\cdot ab/2+c^2$；展开消去2ab，得 $a^2+b^2=c^2$。

   为什么这样做

   要先证明中央形状是正方形，才能把它的面积写为c²；不能仅凭图样猜测。

易错与反例

• 拼图证明中的各块必须不重不漏，并具有同样的a、b、c。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

可选拓展：直角三角形ABC的直角在C，从C向斜边AB作高CH，H在线段AB内部，AH=4、HB=9。求CH。

我的思路（本页草稿）

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$6$

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1. 由两小直角三角形相似，CH²=AH×HB=36；长度正，所以CH=6。

   为什么这样做

   ∠ACH=∠CBH，且两小三角形都在H处直角，由AA相似得AH/CH=CH/HB。

易错与反例

• 射影关系要求原三角形在C处为直角，不能用于任意三角形的高。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

直角三角形斜边17，一条直角边8，求另一条直角边。

我的思路（本页草稿）

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$15$

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1. 另一边平方为17²−8²=225，边长为15。

   为什么这样做

   反求直角边时用斜边平方减去另一条直角边平方。

易错与反例

• 不能把17²与8²相加，那会得到比斜边更长的直角边。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

求一条非退化线段长度x时得到x²=9，小明写“x可能为3或−3，所以有两种长度”。哪里错了？

我的思路（本页草稿）

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长度只能是3。

查看逐步解析与易错点

1. 方程在实数内的两个根为±3，但本题的x表示长度，必须x>0，因此只取3。

   为什么这样做

   代数求解得到候选后，还要与原几何量的定义域相交。

易错与反例

• “方程有两个根”不等于实际模型有两个可行解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

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