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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
平行四边形ABCD的对角线交于O，AO=3、BO=4、∠AOB=90°，求AB。
三角形AOB为直角三角形，AB²=3²+4²=25，AB=5。对角线互相平分且垂直，还可判断原图是菱形。
先把对角线交点与顶点组成的小三角形辨认出来，再用给定直角。
易错与反例
对角线长AC=6、BD=8，不能把它们直接当作小三角形的两边。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
凸四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AO=CO、BO=DO。证明ABCD是平行四边形。
ABCD是平行四边形。
由AO=CO、BO=DO及对顶角∠AOB=∠COD，SAS得到△AOB≅△COD，于是内错角∠ABO=∠CDO，故AB∥CD。同理由△AOD≅△COB得到AD∥BC。两组对边分别平行。
性质的逆向使用需要证明；这里用全等产生两组可判平行的角。
易错与反例
不能把“平行四边形的对角线互相平分”直接当作逆命题已经证明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
凸四边形A(−2,0)、B(2,0)、C(1,2)、D(−1,2)的两条对角线等长，它一定是矩形吗？
不是；这是上底2、下底4的等腰梯形。
等对角线判矩形的常用条件前面还须有“已经是平行四边形”。
易错与反例
遗漏类别前提，会把梯形也判成矩形。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
矩形的两邻边长6、8，求对角线长。
邻边垂直，对角线平方为6²+8²=100，长度10。
矩形的直角性质允许在被对角线分出的三角形中用勾股定理。
易错与反例
一般平行四边形的邻边未必垂直，不能无条件这样算。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
菱形两条对角线长6和8，求面积。
菱形对角线垂直，将图形分成四个直角三角形，面积为6×8/2=24。
此面积关系利用对角线垂直；不能拿任意四边形的两条斜对角线直接相乘。
易错与反例
要乘1/2，不是直接得到48。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
正方形对角线长10，求边长。
设边长s>0，则
正方形两条邻边既相等又垂直，因此对角线平方为边长平方的2倍。
易错与反例
不要将对角线简单除以2。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
已经知道ABCD是平行四边形，再知两条对角线互相垂直，可以保证它是哪类图形？
菱形
矩形
一定是正方形
只可能是一般梯形
A
对角线互相平分且垂直，交点周围四个直角三角形的两直角边分别相等，推出四边相等，所以是菱形。
矩形还需要直角或等对角线等额外条件；菱形包括正方形但不限于正方形。
易错与反例
不能将“可能为正方形”加强为“必为正方形”。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
可选提高：凸四边形ABCD四边的中点依次为E、F、G、H。证明EFGH是平行四边形。
EFGH是平行四边形。
连接AC、BD。三角形中位线性质给出EF∥AC、GH∥AC，所以EF∥GH；同理FG∥BD、EH∥BD，所以FG∥EH。中位线性质本身可由两边比为1/2、夹角公共的SAS相似推出。
在原图中引入对角线后，中点关系可以放进三角形，再回到四边形的平行判定。
易错与反例
原四边形不必本身是平行四边形；不要额外假设对边平行。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
平行四边形的一个内角为110°，求与它相邻的内角（单位：度）。
两组对边平行，相邻内角互补，因此另一个角为180°−110°=70°。
这是平行线同旁内角互补在四边形中的应用。
易错与反例
对角相等与邻角互补不能互换。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：四边形的性质与判定。一道题出错只提供候选线索。
凸四边形的对角线垂直且等长，一定是正方形吗？用A(0,3)、B(−2,0)、C(0,−1)、D(2,0)检查。
不一定；此例对角线均长4且垂直，但不是正方形。
对角线AC、BD交于原点，AO=3、CO=1，不互相平分，因此甚至不是平行四边形。又AB²=13、BC²=5，邻边不等。
正方形的对角线既垂直、等长，又互相平分；只给其中两个条件仍可能不足。
易错与反例
不要用图形类别的部分性质替代完整判定。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。