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13 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
在立方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，证明AA₁垂直平面ABCD，并说明AA₁与BD所成角。
AA₁⊥平面ABCD；与BD所成角为90°。
立方体的棱AA₁同时垂直AB、AD，而AB与AD在底面内相交于A，所以AA₁垂直底面。BD在底面内；将BD平行移过A后，仍与AA₁垂直，因此两空间直线所成角为90°。
线面垂直判定要用平面内两条相交直线；与不经过垂足的直线比较方向时，可先平移到同一点。
易错与反例
只写AA₁⊥AB这一条条件不足以证明线面垂直。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
立方体棱长为1。求体对角线AC₁与底面ABCD所成角的正弦。
正弦为√3/3。
C₁在底面的正射影为C，A已经在底面，所以所求角是∠C₁AC。直角三角形ACC₁中，AC=√2、CC₁=1、AC₁=√3，因此正弦为1/√3=√3/3。
线面角应使用直线的正射影，不能随意选底面内另一条线。
易错与反例
∠C₁AB不是本题所求的线面角。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
某直线垂直于一个平面内的两条平行直线，是否一定垂直这个平面？给出反例。
不一定；判定中的两条直线必须相交。
在纸面上画两条不同的平行横线m、n，再画同一纸面内垂直它们的直线l。l同时垂直m、n，却仍位于纸面内，没有垂直纸面。
两条平行线只提供同一个方向条件，不能代表平面的两个独立方向。
易错与反例
不能把“两条直线”简写掉判定所要求的“相交”。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
已知m在平面α内、l∥m，且l不在α内。关于l与α，哪项一定成立？
l∥α
l⊥α
l与α交于一点
不能作任何判断
A
平面内有一条与l平行的直线，加上l不包含在该平面内，满足线面平行判定。
平行方向之外还要检查位置，否则l也可能在平面内。
易错与反例
不能省略l不在α内这一条件。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
若一条直线分别平行于两个不同平面，这两个平面一定平行吗？用立方体给出反例。
不一定。立方体中的D₁C₁平行于底面ABCD和侧面ABB₁A₁，但两平面相交于AB。
D₁C₁与AB同方向，且不在底面或该侧面中，所以与二者均无交点；底面和侧面仍共有直线AB。
一个共同的平行方向不能保证两个平面没有交线。
易错与反例
线与两个面的关系不能直接升级为面与面平行。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
一个封闭直圆锥底面半径3厘米，高4厘米，求体积和总表面积。
体积12π立方厘米，总表面积24π平方厘米。
母线长√(3²+4²)=5厘米。体积为π×3²×4/3=12π；侧面积π×3×5=15π，加底面积9π，总面积24π。
体积使用垂直高度，侧面展开使用母线；总表面积还包括底面。
易错与反例
不能把母线5当高代入体积，也不能漏掉底面积。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步 · 图形的认识与测量（周长、面积、体积） · 勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。
球的半径为2厘米，求表面积和体积。
表面积16π平方厘米，体积32π/3立方厘米。
代入S=4πR²和V=4πR³/3，分别得到16π和32π/3。
表面积按长度平方变化，体积按长度立方变化，单位也不同。
易错与反例
半径与直径不能混用，面积与体积也不能因都含π而混为一谈。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
棱长2的立方体中，求A₁到平面BB₁C₁C的距离。
A₁B₁同时垂直该侧面内相交的B₁B与B₁C₁，故A₁B₁垂直侧面，长度2就是所求距离。
点面距离取垂线段长度，先证明选定线段确实垂直该平面。
易错与反例
体对角线或任意斜线段长度不是点面距离。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
棱长为1的立方体中，面上的对角线AB₁与底面ABCD所成角为多少度？
B₁向底面投影到B，所求角为∠B₁AB。AB=BB₁=1，直角三角形ABB₁为等腰直角三角形，角为45°。
先找正射影，再在平面直角三角形内计算空间角。
易错与反例
不能直接用体对角线AC₁的结论代替面上对角线AB₁。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
A、B、C不共线，P在它们确定的平面外，E、F、G分别是PA、PB、PC的中点。证明平面EFG∥平面ABC。
两平面平行。
三角形中位线给EF∥AB、EG∥AC。E不在平面ABC内，所以EF与EG都平行于平面ABC；它们相交于E且方向不平行，所在平面EFG由两条相交直线的平行关系判为平行于平面ABC。
先分别证明两条相交直线平行于目标平面，再使用面面平行判定。
易错与反例
只有一条平行中位线不够；还需两条相交直线。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
P在平面ABC外，PA=3，PA⊥AB、PA⊥AC，A、B、C不共线。求P到平面ABC的距离。
AB、AC是平面内两条相交直线，故PA⊥平面ABC；垂足为A，点面距离为PA=3。
两条相交线的垂直条件确定了垂线段，才能取它的长度。
易错与反例
不能只凭PA长3就说它是高，垂直条件必须用到。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
正四棱锥的底面是边长6厘米的正方形，垂直高度4厘米。求体积（立方厘米）。
底面积36平方厘米，体积为36×4/3=48立方厘米。
棱锥体积使用底面积乘垂直高度的三分之一。
易错与反例
高度不是侧棱；也不能把棱锥当作同底等高的棱柱。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。
已知m在平面α内、l∥m，但没有说明l是否在α内。能直接推出l∥α吗？补出所需条件并举出缺条件的情形。
不能；还要l不在α内。若l、m是同一平面α内的两条不同平行线，前提成立而l包含于α。
线面平行判定需要面内一条平行线，同时要排除待判直线位于该平面。平面内的平行线给出直接反例。
位置关系判定使用全部条件；与面内某直线平行本身不足。
易错与反例
不能把包含于平面与线面无交点混为一谈。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：立体几何初步。一道题出错只提供候选线索。