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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
三角形ABC中，b=5、c=7、A=60°，其中a、b、c分别为A、B、C的对边。求a。
a²=b²+c²−2bc cosA=25+49−70×1/2=39，所以a=√39。
已知角A是边b、c的夹角，余弦定理直接求它的对边；边长取正平方根。
易错与反例
不能把非夹角条件当成两边及夹角，也不能漏掉2bc。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
三角形ABC中，A=30°、B=45°、a=4，求b。
第三角C=105°，构成非退化三角形。由b/sin45°=4/sin30°，得b=4√2。
正弦定理必须把每条边配到自己的对角。
易错与反例
不能把a配给B，再把b配给A。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
三角形ABC中，AB=5、AC=3、∠B=30°。求BC的全部可能长度。
令BC=x，用∠B的余弦定理得9=25+x²−5√3x，即x²−5√3x+16=0。两根为(5√3−√11)/2与(5√3+√11)/2，均在2与8之间，所以都满足三角形不等式并给定30°角。
两边和一个非夹角可能形成两个三角形，不能只保留二次方程的一个根。
易错与反例
得到两个代数根后仍要检查正长度、三角形条件与给定角。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。
一个三角形的三边长为5、12、13，求最大角的度数。
最大角对最长边13。cosC=(5²+12²−13²)/(2×5×12)=0，所以C=90°。
边角大小对应，且三角形内角在0°到180°之间。
易错与反例
先确定所求角的对边，不要把13放错到夹角两边的位置。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
边长为2、3、6的三个数能用于解一个非退化三角形吗？
不能，它们不能组成三角形。
2+3<6，违反三角形不等式；若强算最长边对角的余弦，会得到(4+9−36)/(2×2×3)=−23/12，超出余弦范围。
先检查给定数据是否形成三角形，公式不会替无效的几何条件创造图形。
易错与反例
不能对小于−1的数继续求实数角作为答案。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
三角形两边长6、8，它们的夹角为30°，求面积。
面积S=1/2×6×8×sin30°=12。
以一边作底，另一边乘夹角正弦给对应的高。
易错与反例
这里必须是这两条边之间的夹角，不能任取一个角代入。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
平面三角测量中，观测点A、B相距20米，目标C使∠CAB=∠CBA=45°。求AC（米）。
∠C=90°，由正弦定理AC/sin45°=20/sin90°，得到AC=10√2米。
基线AB对应角C；求AC时对应角B，先确认边角配对。
易错与反例
20米是斜边基线，不是与AC等长的另一条直角边。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
三角形外接圆半径为10，角A=30°，求A的对边a。
由a=2RsinA，得到a=20×1/2=10。
扩展正弦定理中的R是外接圆半径，2R是直径。
易错与反例
不能把半径10直接当作公式中的2R。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理） · 圆。一道题出错只提供候选线索。
三角形中两边长4、6，夹角60°，求第三边长。
第三边平方为4²+6²−2×4×6×cos60°=28，边长为2√7。
夹角条件给出唯一的非退化三角形，用余弦定理后取正长度。
易错与反例
不能误用勾股定理把夹角当作90°。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。
三角形中已知A=30°、A的对边a=2、另一边b=5，这样的三角形存在吗？
不存在。
正弦定理要求sinB=b sinA/a=5×(1/2)/2=5/4>1，不可能。
SSA条件可能无解、唯一解或两解，须先检查正弦范围及角和。
易错与反例
不能一看到“两边和非夹角”就固定答两个三角形。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。