集合 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

设A={1,2,3}、B={2,4}，求A∩B。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{2\}$

查看逐步解析与易错点

1. 交集收集同时属于A和B的元素；只有2同时出现，所以A∩B={2}。

   为什么这样做

   交集按元素的共同归属判断，不重复记录同一元素。

易错与反例

• 不能把所有出现过的元素都放进交集，那是并集。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

班上30人，参加活动A的18人，参加B的15人，两项都参加的6人。两项都没参加的有几人？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$3$

查看逐步解析与易错点

1. 至少参加一项的人数=18+15−6=27；两项都没参加=30−27=3人。

   为什么这样做

   相加时交集被数了两遍，减去一次后才能从全集人数中求补集人数。

易错与反例

• 不能直接30−18−15，因为两项都参加的人被重复扣除。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

空集∅、集合{0}、集合{∅}相同吗？分别说明元素。

我的思路（本页草稿）

查看答案

三者互不相同。

查看逐步解析与易错点

1. ∅没有元素；{0}有一个元素0；{∅}有一个元素，这个元素是空集。0是数，∅是集合，二者不是同一对象。

   为什么这样做

   集合本身与集合内的元素要区分，大括号会改变对象层次。

易错与反例

• 不能把“含有空集的集合”也当作空集。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

A={1,2}、B={1,2,3}，下列哪项正确？

• A.

  $A\in B$

• B.

  $A\subseteq B$

• C.

  $3\in A$

• D.

  $B\subseteq A$

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. A的每个元素都是B的元素，所以A⊆B。B的元素是数1、2、3，不含集合A这个元素。

   为什么这样做

   属于比较元素与集合，包含比较两个集合的元素归属。

易错与反例

• 不要交换∈与⊆。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

$A=\{x\in \mathbb{R}:x\le 2\}$，$B=\{x\in \mathbb{R}:x\ge 1\}$，求交集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[1,2]$

查看逐步解析与易错点

1. 两个条件必须同时满足，所以1≤x≤2，即[1,2]。

   为什么这样做

   数轴交集取重叠区域，两个端点都满足原不等号。

易错与反例

• 闭端点不能因画图区间相接而丢失。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

求 $(-\mathrm{\infty },-1)\cup [-1,3]$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },3]$

查看逐步解析与易错点

1. −1在第二段中被包含，两段连接后没有缺口；结果为(−∞,3]。

   为什么这样做

   并集只需至少属于一个集合；接点是否缺失要看两侧是否至少有一侧包含。

易错与反例

• 不能把−1漏成一个被挖去的点。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

A={1,2}的补集是否与全集无关？用U={1,2,3}与V={1,2,3,4}说明。

我的思路（本页草稿）

查看答案

有关；相对于U为{3}，相对于V为{3,4}。

查看逐步解析与易错点

1. 补集是在指定全集里排除A的元素。改变全集，允许参加比较的元素范围也改变。

   为什么这样做

   补集必须注明相对哪个全集，不能脱离论域单独确定。

易错与反例

• 不应把一个有限集合的补集总理解成全体实数中剩余部分。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

设 $A=\{x\in \mathbb{R}:x^2=ax\}$。A恰有一个元素时，实数a是多少？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0$

查看逐步解析与易错点

1. 方程x(x−a)=0给出候选0和a。集合不重复计元素，只有a=0时两候选重合，A={0}。

   为什么这样做

   方程根的重数与集合元素个数不同，重合的根只计一次。

易错与反例

• 不能因形式上出现x=0、x=a就总说有两个元素。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

全集U={0,1,2,3,4,5}，A={1,3,5}，求A在U中的补集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{0,2,4\}$

查看逐步解析与易错点

1. 从U中排除1、3、5，剩下{0,2,4}。

   为什么这样做

   保留的是属于U但不属于A的元素。

易错与反例

• 0也是全集的元素，不能漏掉。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

在同一全集U中，用元素归属解释“交集的补集等于两个补集的并集”。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$U\setminus (A\cap B)=(U\setminus A)\cup (U\setminus B)$。

查看逐步解析与易错点

1. 一个U中的元素不同时属于A和B，等价于它至少不属于其中一个集合，也就是属于至少一个补集。反向理解同样成立，所以两边元素完全一致。

   为什么这样做

   证明集合相等需说明两个方向的元素归属；“不同时”对应“至少一个不”。

易错与反例

• 不能把交集取补仍写成交集，那会错误要求两边都不属于。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立复测

设A=[−2,3]、B=(1,5]，求A∩B。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,3]$

查看逐步解析与易错点

1. 交集要求同时属于两区间，故x>1且x≤3，得到(1,3]。

   为什么这样做

   端点1不属于B，端点3同时属于A、B。

易错与反例

• 不能把交集写成覆盖两个区间的并集。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：集合。一道题出错只提供候选线索。