实数 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

回到知识讲解 · 按知识点选题

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

依次写出 $\sqrt{25}$、25的两个平方根（后两项从小到大），用逗号分隔。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(5,-5,5)$

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{25}=5$ 是非负的算术平方根；方程 $x^2=25$ 的根为 $-5,5$。

   为什么这样做

   根号表示一个非负数，求平方根则要列全使平方等于原数的实数。

易错与反例

• 不能写√25=±5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

不使用计算器，将 $\sqrt{10}$ 夹在两个相邻的一位小数之间，依次写出下界和上界。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3.1,3.2)$

查看逐步解析与易错点

1. ${3.1}^2=9.61<10<10.24={3.2}^2$，所以 $3.1<\sqrt{10}<3.2$。

   为什么这样做

   在非负数范围，平方随原数增大而增大，因此可用平方反向比较。

易错与反例

• 负数范围不能照搬平方大小与原数大小的同向关系。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

证明 $\sqrt{2}$ 不能写成两个整数的比。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{2}$ 是无理数。

查看逐步解析与易错点

1. 若 $\sqrt{2}=p/q$，其中 $p,q$ 为互质正整数，则 $p^2=2q^2$，故 $p^2$ 为偶数，p也为偶数（奇数的平方仍是奇数）。令 $p=2k$，得 $q^2=2k^2$，从而q也为偶数。这与p、q互质矛盾。

   为什么这样做

   任一正有理数都能先约成最简分数；推出分子分母同为偶数，才与最简性冲突。

易错与反例

• 若开头没有要求互质，“两者都是偶数”本身并不矛盾。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

下列哪个数是无理数？

• A.

  $\sqrt{9}$

• B.

  $\frac{1}{7}$

• C.

  $0.125$

• D.

  $\sqrt{3}$

我的思路（本页草稿）

查看答案

D

查看逐步解析与易错点

1. 前三个数分别为3、有理分数、$1/8$。若 $\sqrt{3}=p/q$ 为最简分数，由 $p^2=3q^2$ 可得p与q都能被3整除，矛盾。

   为什么这样做

   整数、有限小数和循环小数都是有理数；非完全平方正整数的平方根为无理数。

易错与反例

• 带根号的表达式不一定代表无理数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

求 $\sqrt{(-6{)}^2}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6=|-6|$。

   为什么这样做

   算术平方根必须非负。

易错与反例

• 不能把平方与根号消去后直接得到−6。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

求 $\sqrt[3]{-27}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-3$

查看逐步解析与易错点

1. $(-3{)}^3=-27$，所以 $\sqrt[3]{-27}=-3$。

   为什么这样做

   实数的立方保留符号，立方根对每个实数都存在且唯一。

易错与反例

• 负数没有实数平方根，不代表它没有立方根。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

计算器显示某数为1.41421356，能据此确定它是无理数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，仅有有限位显示不足以确定。

查看逐步解析与易错点

1. 有理数1.41421356和无理数 $\sqrt{2}$ 都可能被显示成同一有限位结果。若题目明确这个数恰等于有限小数1.41421356，它就是有理数。

   为什么这样做

   显示值可能经过舍入；数的完整定义与设备显示不是同一信息。

易错与反例

• 不能从“目前没有看到循环”推出无限不循环。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

求方程 $x^2=-4$ 在实数范围内的解集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{\}$

查看逐步解析与易错点

1. 实数的平方总是非负，不能等于−4，因此实数解集为空。

   为什么这样做

   所讨论的数系必须先说明；本题限定实数。

易错与反例

• 不能把实数范围内的“无解”推广到所有数系。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

计算 $\sqrt{49}+\sqrt[3]{-8}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. $7+(-2)=5$。

   为什么这样做

   分别按平方根和立方根的定义核对符号后相加。

易错与反例

• 根的次数不同，不能合并根号内的数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

“两个无理数的和一定是无理数”是否成立？给出反例。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不成立。

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{2}$ 与 $-\sqrt{2}$ 都是无理数，但相加得0，是有理数。

   为什么这样做

   无理数的集合对加法不封闭；只需一个反例推翻“一定”。

易错与反例

• 不能以几个结果仍无理的例子证明“所有”。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。