先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
从甲城到乙城可任选3班公交之一或2班列车之一，再从乙城任选4班车到丙城。各班次均可衔接，求不同出行方案数。
第一段3+2=5种选择，第二段每种都可接4班，所以(3+2)×4=20。
同一段的备选方式分类相加；两段必须都完成，按步骤相乘。
易错与反例
不能把3、2、4全部相乘或全部相加。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
5名不同同学中选队长、副队长各1人；另问只选2人组成无角色小组。依次求两种方案数。
有角色时5×4=20种；无角色时每组被两种次序重复计数，除以2，得10种。
有无次序取决于交换两人的位置是否改变方案。
易错与反例
不能只看到“选2人”就无条件使用组合。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
用数字0、1、2、3组成不重复的三位整数，共有多少个？
百位不能为0，有3种；十位可用剩余3个数字，个位剩2个，所以3×3×2=18。
先处理首位限制，再按不重复要求逐步减少选择数。
易错与反例
把0放在百位得到的不是三位整数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
求(1+2x)⁵展开式中x³的系数。
要选3个因子中的2x，其余选1，系数C₅³×2³=10×8=80。
选择位置贡献组合数，2x自身的系数也要相乘。
易错与反例
10只是二项式系数，不是最终x³的系数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
6名不同同学排成一行，指定甲、乙必须相邻，共有多少种排法？
把甲乙合成一个整体，与其余4人共5个对象，有5!种；整体内部甲乙可交换，有2种，所以2×5!=240。
捆绑计数还要乘整体内部的不同排列。
易错与反例
只算5!会漏掉甲乙对调的排法。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
7名不同同学选3人小组，指定甲必须入选，共有多少组？
固定甲后，从剩余6人中选2人，C₆²=15。
甲已占用一个名额，余下选择不区分次序。
易错与反例
不能仍从7人选3人，或把甲的加入位置再计数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
四位数字口令每位可为0到9，允许重复、允许首位为0，共有多少种？
每位均有10种选择，四步相乘10⁴=10000。
口令与四位整数的首位规则不同，题目已允许0开头。
易错与反例
不能按不重复要求写10×9×8×7。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
4名男生、3名女生中选3人小组，至少有1名女生，共有多少组？
全部选法C₇³=35；全男生C₄³=4，补集相减得到31。
不符合要求的全男生是一类清楚且无重复的补集。
易错与反例
至少1名包括1、2、3名女生，不等于恰有1名。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
从6名不同同学中选主持、记录、计时各1人，每人至多一个职位，共有多少种？
三个职位不同，依次有6、5、4种选择，乘得120。
交换职位会改变方案，所以使用有序分配。
易错与反例
不能除以3!把不同职位的方案合并。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。
求(2+x)⁴展开式中x²的系数。
选2个因子取x，另2个取2，系数C₄²×2²=6×4=24。
x的指数确定取x的因子数，余下常数仍贡献乘积。
易错与反例
只报组合数6会遗漏两个常数2。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。