先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
独立掷两枚均匀硬币，以X表示正面个数。写分布列并求期望、方差。
P(X=0)=1/4，P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/4；E(X)=1，D(X)=1/2。
四个等可能有序结果给0、1、1、2个正面。E=0/4+1/2+2/4=1；E(X²)=0+1/2+4/4=3/2，减去1²得1/2。
X把基本结果映射为数量；同一个值可以合并多个基本结果，其概率要相加。
易错与反例
不能把X的三个值视为三个等可能结果。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
4次相互独立试验，每次成功概率1/4，求恰好成功2次的概率。
成功位置有C₄²=6种，每条路径概率(1/4)²(3/4)²，乘得54/256=27/128。
相同次数的不同成功位置是互斥的，且因独立同概率而可合并。
易错与反例
只算一条成功路径会漏掉其他位置。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
只掷一次均匀硬币，再把同一结果复制成两个记录。每个记录为正面的概率都是1/2。正面记录数X服从B(2,1/2)吗？
不服从。X只取0、2，各概率1/2；E(X)=1但X不可能取1。
两个记录总相同，不独立；二项模型本会给P(X=1)=1/2，与实际0矛盾。
相同边际概率不能代替共同独立；期望也不必是可能结果。
易错与反例
不能把记录次数当作独立试验次数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
X取1、2、4的概率依次为1/2、1/4、1/4。依次求E(X)、D(X)。
概率和为1。E=1/2+2/4+4/4=2；E(X²)=1/2+4/4+16/4=11/2，故D=11/2−4=3/2。
先检验分布，再分别计算一阶与二阶加权和。
易错与反例
E(X²)不能直接写成E(X)²。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
已知E(X)=2、D(X)=4，令Y=3X−2。依次求E(Y)、D(Y)。
E(Y)=3×2−2=4；D(Y)=3²×4=36。
平移改变均值但不改变离均差，尺度乘3使平方离差乘9。
易错与反例
方差不是3×4−2。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
5个球中2红3白，等概率选取2个不同球组成的样本。求恰有1红球的概率。
全部样本C₅²=10；1红1白有C₂¹C₃¹=6，概率6/10=3/5。
无序样本均匀且不放回，可按组合数计算；可取红球数为0、1、2。
易错与反例
若把两次抽取当成功概率始终2/5的独立试验，会用错模型。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
假设X服从N(100,15²)，已知P(85≤X≤115)约为0.68。求P(100<X≤115)的近似值。
正态分布关于100对称，中心左右区间面积相等，所求约为0.68/2=0.34。
连续分布单点概率0，不影响是否包含端点100；15是标准差。
易错与反例
不能把高度或区间宽度直接当概率。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
有人给出分布列：X取0、1、2的概率分别为0.2、0.5、0.4。能否据此作为有效分布计算期望？
不能，概率和为1.1，分布列不合法。
三种值已声称涵盖X全部取值，但概率总和0.2+0.5+0.4=1.1，违反总概率为1。应先核对数据或是否重复分类。
概率必须非负且互斥完整取值的概率和为1，不能只看每项都在0到1之间。
易错与反例
直接归一会创建另一个模型，不能擅自当成原题给定的分布。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
3次相互独立试验，每次成功概率2/5，求恰成功2次的概率。
成功位置C₃²=3种，概率3(2/5)²(3/5)=36/125。
恰2次要同时指定另1次失败；位置不同的事件互斥相加。
易错与反例
不能把至少2次也一并纳入。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。
X取0、2、4的概率依次为1/4、1/2、1/4。依次求期望与方差。
E=0+1+1=2；D=[(0−2)²+(4−2)²]/4=2，中间值的离均差为0。
方差按各值离均差的平方与概率加权，不能只对取值做普通平均。
易错与反例
分布对称可帮助求均值，但方差仍要计算。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。