第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
等差数列首项3、公差2。依次求第10项和前10项和。
查看答案
查看逐步解析与易错点
a₁₀=3+9×2=21；S₁₀=10(3+21)/2=120。
为什么这样做到第10项有9个相邻间隔，倒序相加后每列和为24。
易错与反例
不能用10次公差，也不能把末项21当作前10项和。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
等差数列与等比数列 · 练习
先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。
11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
等比数列首项3、公比−2。依次求第6项和前6项和。
查看答案
查看逐步解析与易错点
a₆=3(−2)⁵=−96；S₆=3[1−(−2)⁶]/[1−(−2)]=−63。
为什么这样做负公比使符号交替；求和公式中的整个公比都要带括号。
易错与反例
把1−(−2)误算成−1会改变答案。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
首项为5、公比q≠0的等比数列，写出前n项和，说明为什么q=1要另分。
查看答案
q=1时Sₙ=5n；q≠1时Sₙ=5(1−qⁿ)/(1−q)。
查看逐步解析与易错点
错位相减得到(1−q)Sₙ=5(1−qⁿ)。q≠1可除；q=1时得到0=0，需回到每项都是5求和。
为什么这样做含参数除法之前要检查分母，恒等式不能确定这个分支的和。
易错与反例
不能代q=1进分式后把0/0当0。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 4 题 基础 · 独立练习
等差数列满足a₃=7、a₈=22。依次求首项和公差。
查看答案
查看逐步解析与易错点
a₈−a₃=5d=15，故d=3；a₁=7−2×3=1。
为什么这样做相隔的序号差为5，累计了5次同一个公差。
易错与反例
不能用8或3代替相隔项数5。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 5 题 提高 · 独立练习
计算T=1+2×2+3×2²+⋯+8×2⁷。
查看答案
查看逐步解析与易错点
设一般和Tₙ=Σk2ᵏ⁻¹。2Tₙ−Tₙ=n2ⁿ−(1+2+⋯+2ⁿ⁻¹)，所以Tₙ=(n−1)2ⁿ+1；n=8得1793。
为什么这样做相邻系数相减变成常数，而两端不能抵消。
易错与反例
原数列不是等比数列，不能把相邻项公比都认作2。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
第 6 题 基础 · 独立练习
计算
查看答案
查看逐步解析与易错点
每项为1/k−1/(k+1)，相邻项抵消后只剩1−1/10=9/10。
为什么这样做裂项经通分可还原原式，k≥1使分母都非零。
易错与反例
不要把最后的−1/10一并消掉。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
第 7 题 综合 · 独立练习
a₁=2，aₙ₊₁=2aₙ+1（n≥1）。用平移求通项，并核对首项。
查看答案
aₙ=3×2ⁿ⁻¹−1。
查看逐步解析与易错点
常数解c满足c=2c+1，得c=−1。设bₙ=aₙ+1，则bₙ₊₁=2bₙ，b₁=3，所以aₙ=3×2ⁿ⁻¹−1；n=1代回为2。
为什么这样做平移消去加法常数后，才得到等比关系；最后要还原aₙ。
易错与反例
不能把原数列直接当成首项2、公比2的等比数列。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 8 题 提高 · 独立练习
数列5,0,0,0,…满足aₙ₊₁=0×aₙ，所以一定是通常定义下公比0的等比数列，对吗？
查看答案
不对；递推式合法，但通常等比数列要求各项非零、公比非零。
查看逐步解析与易错点
从第二项起相邻比出现0/0，无法得到一个定义良好的固定比值。它仍是一条确定数列，只是不属于这里的等比定义。
为什么这样做数列的合法性与某种数列类别的定义是两回事。
易错与反例
不要因不满足等比定义而误说数列本身不存在。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 9 题 基础 · 独立复测
等差数列首项12、公差−3。依次求第6项与前6项和。
查看答案
查看逐步解析与易错点
a₆=12+5×(−3)=−3；S₆=6(12−3)/2=27。
为什么这样做公差可以为负；求和仍按实际首末项相加。
易错与反例
末项为负不代表整个部分和也必须为负。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 10 题 基础 · 独立复测
等比数列首项2、公比3。依次求第4项与前4项和。
查看答案
查看逐步解析与易错点
a₄=2×3³=54；S₄=2(1−3⁴)/(1−3)=80，可用2+6+18+54核对。
为什么这样做通项用n−1次乘法，有限和的分子包含qⁿ。
易错与反例
不要混淆通项中n−1和求和式中n。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。
第 11 题 提高 · 独立复测
a₁=2，aₙ₊₁=3aₙ+4（n≥1）。用平移求通项，并检验首项与递推。
查看答案
aₙ=4×3ⁿ⁻¹−2。
查看逐步解析与易错点
固定点c满足c=3c+4，故c=−2。aₙ+2是首项4、公比3的等比数列；还原后n=1给2，且3aₙ+4=4×3ⁿ−2=aₙ₊₁。
为什么这样做消去常数项后的等比数列才使用通项公式，首项与一般递推都要核对。
易错与反例
只检验第一项不足以证明符合全部递推。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：等差数列与等比数列。一道题出错只提供候选线索。