平面向量 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

向量a=(3,1)，b=(−1,2)，求a+b的坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 分别相加横、纵位移，a+b=(3−1,1+2)=(2,3)。

   为什么这样做

   将第二次位移接在第一次之后，与平行四边形对角线表示相同的总位移。

易错与反例

• 向量相加不是把模长相加后当作新向量。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

向量a=(1,2)，b=(2,−1)。依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0,90)$

查看逐步解析与易错点

1. 点积为1×2+2×(−1)=0；两向量模均为√5，均非零，所以cosθ=0，θ=90°。

   为什么这样做

   坐标点积与几何点积相容；夹角统一取0°到180°。

易错与反例

• 点积为0后仍需确认两向量非零，才可使用夹角公式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

a=(2,k)，b=(1,3)。依次求使它们平行、垂直时k的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(6,-\frac{2}{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 平行要求2×3−k×1=0，k=6；垂直要求2×1+3k=0，k=−2/3。两向量始终非零。

   为什么这样做

   平行比较成比例的分量，垂直比较点积；两种判定不同。

易错与反例

• 不能把行列式为0当作点积为0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

点A(1,−2)、B(−3,4)，求向量AB的坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-4,6)$

查看逐步解析与易错点

1. AB=B−A=(−3−1,4−(−2))=(−4,6)。

   为什么这样做

   坐标差表示从起点到终点的位移，方向决定相减顺序。

易错与反例

• 反过来相减得到的是BA，不是AB。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

向量a=(3,4)，求向量−2a的模。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. |a|=√(3²+4²)=5，|−2a|=|−2||a|=10。

   为什么这样做

   负数倍改变方向，模长乘系数的绝对值。

易错与反例

• 模不能为负，不能写成−10。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

非零向量a、b满足a·b=|a||b|。它们的方向关系是哪项？

• A.

  同向

• B.

  反向

• C.

  垂直

• D.

  任意方向均可

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 除以正的模长乘积得cosθ=1，夹角θ=0，故同向。

   为什么这样做

   这里点积没有取绝对值；等于正的模长乘积只对应同向。

易错与反例

• 若写|a·b|=|a||b|，反向也可能取等；不要混淆两个条件。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

a=(0,0)，b=(1,1)。a·b=0能推出夹角为90°吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，零向量没有确定方向，本页不定义它与其他向量的夹角。

查看逐步解析与易错点

1. 点积按坐标计算确为0，但夹角公式的分母|a||b|也为0，不能相除。

   为什么这样做

   坐标点积允许零向量，夹角计算只适用于两个非零向量。

易错与反例

• 不能把0/0当成0，再反推角为90°。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

a、b不共线，且(m+1)a+2b=3a+(n−1)b。依次求m、n。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 不共线基底的系数唯一，故m+1=3、2=n−1，解得m=2、n=3。

   为什么这样做

   若两组系数不同，相减就会把一个基底表示成另一个的倍数，与不共线矛盾。

易错与反例

• 若去掉不共线条件，不能直接逐个比较系数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

a=(1,0)，b=(1,1)。依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,45)$

查看逐步解析与易错点

1. a·b=1，|a|=1、|b|=√2，cosθ=1/√2。因0°≤θ≤180°，得θ=45°。

   为什么这样做

   先求模和点积，再在向量夹角的约定范围内确定角。

易错与反例

• 不能把任意角的整圈差当作向量夹角的多种答案。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

a≠0且a·b=a·c，是否必有b=c？给出反例。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不一定。例如a=(1,0)，b=(0,1)，c=(0,2)。

查看逐步解析与易错点

1. 两个点积都为0，但b与c不同。点积只保留某一方向上的投影信息，一条数量等式不足以恢复整个向量。

   为什么这样做

   向量点积不能按普通数的非零乘法随意约掉a。

易错与反例

• a非零也不能保证从一个点积恢复b的两个分量。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立练习

非零向量a=(1,1)、b=(1,−1)，依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0,90)$

查看逐步解析与易错点

1. a·b=1−1=0，两个向量都非零，夹角余弦为0，所以夹角90°。

   为什么这样做

   零数量积判垂直还须排除零向量；角度在0°到180°之间。

易错与反例

• 不能省略两个向量非零的检查。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。