空间向量与立体几何 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

求点P(1,1,1)到平面x+2y+2z=6的距离。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{1}{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 取法向量n=(1,2,2)，模为3；距离为|1+2+2−6|/3=1/3。

   为什么这样做

   点面距离是位移沿法向方向投影的绝对值，除以法向量模消去缩放。

易错与反例

• 不能给出负距离，也不能只取分子。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

直线的方向向量为(√3,0,1)，求它与平面z=0所成角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$30$

查看逐步解析与易错点

1. 平面法向量为(0,0,1)，方向向量模为2；sinθ=1/2。线面角在0°到90°间，所以θ=30°。

   为什么这样做

   方向与法向量夹角的较小值是线面角的余角，因此这里用正弦。

易错与反例

• 若把1/2当作线面角的余弦，会误答60°。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

两个平面的法向量分别为(1,1,0)、(1,0,1)。求两平面的较小夹角，并说明这是否决定所有选定半平面的二面角。

我的思路（本页草稿）

查看答案

较小夹角为60°；选定半平面的二面角还可能为120°，要看方向。

查看逐步解析与易错点

1. 两个法向量点积为1、模乘积为2，取绝对值得较小夹角余弦1/2。把第二个法向量反向，向量夹角会变120°，却没有改变那个平面。

   为什么这样做

   完整平面没有唯一的正法向；使用绝对值只得到较小夹角。半平面的选择另决定二面角是它还是补角。

易错与反例

• 不能把法向量夹角或取绝对值后的角，不经位置判断就当作任意指定二面角。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

a=(1,−2,2)，b=(2,1,0)。依次求|a|与a·b。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,0)$

查看逐步解析与易错点

1. |a|=√(1+4+4)=3；a·b=1×2+(−2)×1+2×0=0。

   为什么这样做

   三维模长与点积分别累加三个坐标的平方或对应乘积。

易错与反例

• 第三个分量不能被当作没有作用而普遍漏掉；本题它的乘积恰为0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

平面内两个不平行方向为u=(1,0,−1)、v=(0,1,−1)。取法向量n=(a,b,1)，依次求a、b。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,1)$

查看逐步解析与易错点

1. n·u=a−1=0、n·v=b−1=0，故a=b=1，n=(1,1,1)非零。

   为什么这样做

   法向量必须同时垂直平面内两个独立方向；这里给定第三分量为1是可行的归一化。

易错与反例

• 只垂直一个方向会留下太多向量，不能据此确认法向。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

两条不同直线的方向向量为(1,2,2)与(−1,−2,−2)，求两直线所成角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0$

查看逐步解析与易错点

1. 两个方向相反但在同一直线方向上，取绝对值后cosφ=9/(3×3)=1，所以两直线平行，角为0°。

   为什么这样做

   直线没有指定正向，向量反向不改变直线方向；所成角取较小者。

易错与反例

• 180°是这两个有向向量的夹角，不是两直线的较小夹角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

求P(1,2,3)到x轴的距离。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{13}$

查看逐步解析与易错点

1. 正射影为H(1,0,0)，垂线段PH=(0,2,3)，长度为√(2²+3²)=√13。

   为什么这样做

   投影保留沿直线的分量，垂直分量合成距离。

易错与反例

• 不能把原点到P的距离√14当作点线距离。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

直线方向v=(1,−1,0)，平面α为x+y+z=1。因为v·(1,1,1)=0，能否直接断言直线与α没有交点？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；它可能平行于α，也可能包含在α内，还要检查直线上的点。

查看逐步解析与易错点

1. 过(0,0,1)的线写为(t,−t,1)，所有点都在α内；过(0,0,0)的同向线为(t,−t,0)，坐标和恒为0，与α无交点。

   为什么这样做

   方向条件只表示没有法向分量，位置条件决定是平行还是包含。

易错与反例

• 不能把v·n=0直接等同于严格的线面平行。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

求P(1,0,1)到平面2x−y+2z=0的距离。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{4}{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 法向量(2,−1,2)的模为3，距离|2+0+2|/3=4/3。

   为什么这样做

   使用平面的同一组系数计算分子和分母，结果不依赖法向量整体放大或反向。

易错与反例

• 若法向量乘2，分子与分母都要同步改变。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

方向向量为(1,1,√6)的直线与平面z=0所成角为多少度？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$60$

查看逐步解析与易错点

1. 方向向量模为√8，法向分量绝对值√6，所以sinθ=√6/√8=√3/2。取0°到90°内的角，θ=60°。

   为什么这样做

   线面角用方向与法向量点积比的正弦关系，并限定角的范围。

易错与反例

• 30°是这里方向与法向之间的较小夹角，不能与线面角互换。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立练习

求点P(2,1,0)到平面x+2y+2z=1的距离。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$1$

查看逐步解析与易错点

1. 平面法向量(1,2,2)的模为3，距离|2+2−1|/3=1。

   为什么这样做

   点代入平面左侧减右侧取绝对值，再除法向量长度。

易错与反例

• 只求代入值3得到的是未归一的量，不是距离。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：空间向量与立体几何。一道题出错只提供候选线索。